Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг - страхования на случай пожара

1. Построим поле корреляции результата и фактора и сформулируем гипотезу о форме связи.
Рис.1. Поле корреляции
На рис.1 представлен пример поля корреляции. По расположению точек на корреляционном поле полагаем, что зависимость между расстоянием до ближайшей пожарной станции X и общей суммы ущерба Y линейная и прямая. Следовательно, с увеличением расстояния до ближайшей пожарной станции увеличивается стоимость ущерба, нанесенного пожаром и можно предположить, что форма связи имеет вид
.
2. Оцените параметры уравнений парной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии b. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл. Определите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию.
Для определения оценок параметров а, b таблица с промежуточными результатами будет выглядеть так (табл. 1).
Таблица 1
Промежуточные результаты для расчета оценок параметров а, b
Расстояние до ближайшей пожарнойстанции (км) Общая сумма ущерба (тыс.руб.)
20 3,6 72 400
15 1,7 25,5 225
10 2,9 29 100
18 3 54 324
15 2,2 33 225
9 3,2 28,8 81
10 3,6 36 100
12 3,9 46,8 144
14 4,2 58,8 196
19 4,8 91,2 361
Итого
Средние значения
Используя данные таблицы, получим систему уравнений:
Решением данной системы являются статистики а, b , которые называются оценками наименьших квадратов неизвестных параметров а иb. В нашем примере оценки равны: а = 2,79 и b = 0,036. Таким образом, модель имеет вид ŶХ = 2,79 + 0,036Х.
Замечание. Оценки параметров модели можно также рассчитать, используя строку «Среднее» табл. 1 по формулам:
;
.
Подставим найденные параметры в уравнение получим:
ŶХ = 2,79 + 0,036Х.
Оценка параметра b = 0,036 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора на единицу его измерения. В данном примере с увеличением расстоянием до ближайшей пожарной станции на 1 км. общей сумма ущерба нанесенного пожаром повышается в среднем на 0,036 тыс.руб.
Оценка параметра а = 2,79 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х =0 находится близко с выборочными значениями. Но если х =0 находится далеко от выборочных значений X, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо. В примере расстояние до ближайшей пожарной станции существенно отличаются от нуля. В геометрическом смысле значение коэффициента а = 2,79 определяет точку пересечения прямой регрессии с осью ординат и характеризует сдвиг линии регрессии вдоль оси Y.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х изисходных наблюдений (выборки), можно определить расчетные значениярезультативного показателя для каждого наблюдения . Полученные величины показывают, каким будет общая сумма ущерба нанесенного пожаром при соответствующем расстоянии до ближайшей пожарной станции, если бы данная группа использовала число расстояний до ближайшей пожарной станции в такой же степени, как в среднем все анализируемые группы.
Связь между X и Y определяет знак коэффициента регрессии b (еслибольше 0 - прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая, т.е. с увеличением расстояния до ближайшей пожарной станции общая сумма ущерба нанесенного пожаром также увеличивается.
Результаты необходимо оформить в виде табл. 2.
Таблица 2
Расчетные значения результативного показателя
Общая сумма ущерба (тыс.руб.) Остатки
№ п/п
ŶХ = 10,77 + 2,01Х еі= Yі – Ŷі
1 3,521 0,079
2 3,339 -1,639
3 3,157 -0,257
4 3,448 -0,448
5 3,339 -1,139
6 3,121 0,079
7 3,157 0,443
8 3,230 0,670
9 3,303 0,897
10 3,485 1,315
Всего 33,1 0,000
3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл, найдите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию.
Далее нужно найти показатель тесноты связи. Таким показателем является линейный коэффициент корреляции r*ху, который рассчитываетсяпо формуле:
где выборочные средние.
выборочные дисперсии.
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.
Если │ r*ху │ > 0,7 , то связь считается сильной. Если │ r*ху │ < 0,3, то связь на практике считают слабой. Этот коэффициент дает объективную оценкулишь при линейной зависимости.
В нашем примере
.
Тогда коэффициент корреляции
Таким образом, связь между стоимостью ущерба, нанесенного пожаром и расстоянием до ближайшей пожарной станции слабая.
Для нашей задачи r*ху= 0,156, что подтверждает вывод, сделанный ранее, что связь между признаками прямая, а также указывает на слабую взаимосвязь между общей суммы ущерба нанесенного пожаром и расстоянием до ближайшей пожарной станции. Положительная величина свидетельствует о прямой связи между изучаемыми признаками.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации R2, он показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака, и рассчитывается по следующей формуле:
Вычислим:
Множественный коэффициент детерминации , показывает, что фактором расстоянием до ближайшей пожарной станции объяснить почти 2,4% изменения общей суммы ущерба нанесенного пожаром. Остальные 97,6% изменения общей суммы ущерба нанесенного пожаром объясняются факторами, не учтенными в модели.
4. На уровне значимости 0,05 оцените статистическую значимостькоэффициента b и коэффициента корреляции