№ 4 9.9880, 10.1865, 9.7946, 9.9539, 9.8977, 10.1190, 10.0806, 9.8619, 9.9394, 10.1472,10.0553, 10.1535 10.0505, 9.9927, 9.9318, 9.8900, 10.0663, 9.9153, 10.0316, 9.9738, 9.9660, 9.8653, 10.1018, 9.9610, 9.9454, 9.8860, 10.0469, 10.0011, 9.8799, 10.0129, 9.9789, 10.0056, 10.0234, 9.8766, 9.9053.
Решение
Определим среднее арифметическое значение x по формуле:
x=1ni=1nxi=9,9880+…+9,905335=349,485735=9,98531.
где хi – i-й результат измерения;
n – число наблюдений.
Вычислим несмещенную оценку среднеквадратического отклонения S по формуле (промежуточные расчеты в таблице 1):
S=i=1nxi-x2n-1=0,2956202235-1=0,09325.
Таблица 1
№ xi
1 9,988 0,00269 0,00000726
2 10,1865 0,20119 0,04047914
3 9,7946 -0,19071 0,03636867
4 9,9539 -0,03141 0,00098632
5 9,8977 -0,08761 0,00767476
6 10,119 0,13369 0,01787416
7 10,0806 0,09529 0,00908100
8 9,8619 -0,12341 0,01522897
9 9,9394 -0,04591 0,00210733
10 10,1472 0,16189 0,02620976
11 10,0553 0,06999 0,00489920
12 10,1535 0,16819 0,02828932
13 10,0505 0,06519 0,00425029
14 9,9927 0,00739 0,00005468
15 9,9318 -0,05351 0,00286286
16 9,89 -0,09531 0,00908318
17 10,0663 0,08099 0,00656007
18 9,9153 -0,07001 0,00490080
19 10,0316 0,04629 0,00214316
20 9,9738 -0,01151 0,00013238
21 9,966 -0,01931 0,00037271
22 9,8653 -0,12001 0,01440137
23 10,1018 0,11649 0,01357092
24 9,961 -0,02431 0,00059077
25 9,9454 -0,03991 0,00159247
26 9,886 -0,09931 0,00986162
27 10,0469 0,06159 0,00379386
28 10,0011 0,01579 0,00024946
29 9,8799 -0,10541 0,01111036
30 10,0129 0,02759 0,00076144
31 9,9789 -0,00641 0,00004103
32 10,0056 0,02029 0,00041186
33 10,0234 0,03809 0,00145117
34 9,8766 -0,10871 0,01181693
35 9,9053 -0,08001 0,00640091
Вычислим оценку среднеквадратического отклонения результата измерения:
S(x)=i=1nxi-x2n(n-1)=0,2956202235(35-1)=0,01533.
Проверим наличие грубых и аномальных наблюдений
. Для сомнительных значений (ими являются максимальное 10,1865 и минимальное 9,7946) вычислим величину:
Zc=xc-xS.
Для значения 10,1865:
Zc=xc-xS=10,1865-9,985310,09325=2,16.
По таблице интеграла вероятности находим значение Ф(zc)=0,4846. Величина 2Ф(zc)=0,9692 не очень близка к единице, результат скорее всего не может считаться грубым наблюдением.
Для значения 9,7946:
Zc=xc-xS=9,7946-9,985310,09325=2,05.
По таблице интеграла вероятности находим значение Ф(zc)=0,4798. Величина 2Ф(zc)=0,9596 не очень близка к единице, результат скорее всего не может считаться грубым наблюдением.
Так как оценка близости к единице весьма субъективна, воспользуемся предлагаемым в методичке критерием трех сигм, который является более объективным.
Применим критерий трех сигм для обоих значений. 3S=0,09325*3=0,27975.
Для значения 10,1865:
10,1865-9,398531=0,20119.
Для значения 9,7946:
9,7946-9,398531=0,19071.
Согласно критерию трех сигм оба результата не являются промахами, так как величина разности по модулю меньше величины трех сигм. Таким образом, все значения остаются для дальнейших расчетов.
5) Построим вариационный ряд.
Таблица 2 – Вариационный ряд
№ Значение № Значение № Значение № Значение
1 9,7946 11 9,9318 21 10,0011 31 10,1018
2 9,8619 12 9,9394 22 10,0056 32 10,119
3 9,8653 13 9,9454 23 10,0129 33 10,1472
4 9,8766 14 9,9539 24 10,0234 34 10,1535
5 9,8799 15 9,961 25 10,0316 35 10,1865
6 9,886 16 9,966 26 10,0469
7 9,89 17 9,9738 27 10,0505
8 9,8977 18 9,9789 28 10,0553
9 9,9053 19 9,988 29 10,0663
10 9,9153 20 9,9927 30 10,0806
Так как у нас немного значений примем число интервалов равное 7.
Определим шаг интервала:
I=(10,1865-9,7946)/7=0,0559857143.
Началом первого интервала примем 9,7946.
Границы интервалов внесем в таблицу 3.
При построении вариационного ряда принимают, что результаты, попавшие в интервал, имеют одно и то же значение, соответствующее середине интервала:
xi=12xi-1+xi
Для первого интервала:
x1=129,7946+9,8506=9,8226
Для каждого интервала подсчитываются частости:
Pi*=nin
Для первого интервала:
P1*=135=0,029.
От частостей переходят к эмпирической плотности вероятности:
f*(xi)=Pi*Ii
Для первого интервала:
f*xi=0,0290,0559857143=0,510.
Аналогично проводим расчеты для других интервалов и записываем результаты в таблицу 3.
Таблица 3
Интервал Середина
xi
Число попаданий, ni
Частость,
Pi*
Плотность вероятности f*xi
Частность с накоплением
9,7946…9,8506 9,8226 1 0,029 0,510 0,029
9,8506…9,9066 9,8786 8 0,229 4,083 0,257
9,9066…9,9626 9,9346 5 0,143 2,552 0,400
9,9626…10,0185 9,9906 9 0,257 4,593 0,657
10,0185…10,0745 10,0465 6 0,171 3,062 0,829
10,0745…10,1305 10,1025 3 0,086 1,531 0,914
10,1305…10,1865 10,1585 3 0,086 1,531 1,000
По данным таблицы 3 построим гистограмму и полигон (рисунок 1).
Построим ступенчатый график эмпирической функции распределения (рисунок 2).
Рисунок 1 – Гистограмма и полигон
Рисунок 2 - Ступенчатый график эмпирической функции распределения
6) Применим критерий χ2 для проверки правильности выбора аппроксимирующей теоретической функции (нормального закона распределения).
Число значений, попадающих в первый, предпоследний и последний интервалы у нас меньше 5, поэтому первый интервал объединим со вторым, а два последних объединим между собой, в итоге получим таблицу 4.
Определим теоретическую вероятность попадания значений измеряемой величины в i-й интервал в соответствии с законом нормального распределения:
где Ф (***) – значение функции Лапласа.
Для первого интервала:
Определяем теоретическое число результатов в каждом интервале niT=npi.
Для первого интервала:
n1T=35*0,1803=6,31..
Результаты вычислений сведем в таблицу 4.
Вычисляем критерий согласия:
Таблица 4 – Расчет критерия χ2
xi-1 xi ni
Ф Ф pi
niT
χ2
9,7946 9,9066 9 -2,05 -0,84 -0,4798 -0,2995 0,1803 6,31 1,146
9,9066 9,9626 5 -0,84 -0,24 -0,2995 -0,0948 0,2047 7,16 0,654
9,9626 10,0185 9 -0,24 0,36 -0,0948 0,1406 0,2354 8,24 0,070
10,0185 10,0745 6 0,36 0,96 0,1406 0,3315 0,1909 6,68 0,070
10,0745 10,1865 6 0,96 2,16 0,3315 0,4846 0,1531 5,36 0,077
Задаемся уровнем значимости α=0,05 и по таблице χ2-распределения для заданного уровня значимости и числа степеней свободы k = N–r–1=5-2-1=2, где r – число параметров предполагаемого распределения, определяемых по выборке (для нормального закона r = 2), находят критическое значение χ2a,k
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
