Применение интегралов при решении физических задач

Аппарат интегрального исчисления стал развивается достаточно давно, однако это был в основном набор методов в котором современный студент не узнает интегрального исчисления, хотя сами по себе приёмы, используемые в этих работах, помогают в вычислении интегралов даже сейчас. Занимались подобным исчислением многие учёны, первым можно считать Архимеда. Свой вклад внёс и такой учёный как Кеплер, не смотря на достаточно сомнительные методы ему удалось получить несколько достаточно важных в практике результатов, например, в его труде «Стереометрия винных бочек». Весьма прост и нагляден метод вычисления объёмов предложенный математиком Б. Кавальери, так называемый метод неделимых.
Однако настоящим отцом, то есть правильнее сказать отцами в том числе и показавшие впервые применение методов интегрирования к физическим задачам, следует считать Ньютона и Лейбница, независимо друг от друга они изложили в своих работах теоретическое обоснование и набор приёмов, связанных с интегрированием. В дальнейшем развитие этого метода как мощного приёма для решения как практических, так и теоретических задач шло повсеместно, приложили к нему свою руку и российские, и советские учёные, например, М. В. Остроградский, П. Л. Чебышев. Чебышевым было доказано что существуют интегралы не выразимые в элементарных функциях, строгое изложение теории интеграла принадлежит О. Коши, Г. Дарбу, Б. Риман.
На мой взгляд сейчас интегральное исчисление, особенно с развитием мощных средств исчисления, позволяет существенно облегчить, как и практическую работу инженеров так и работу учёных, а также помочь в обучении. С другой стороны, как и всякий метод он требует достаточного знания, ну хотя бы где найти хороший онлайн калькулятор и как правильно записать в него необходимый интеграл, а также понимание сути задачи, что бы вычислив правильно интеграл решить верно задачу (проблему). Ведь для изучающих физику интеграл важен не сам по себе, а лишь как некий инструмент, помогающий решить, понять, некую физическую задачу, явление

.
В физической задаче с помощью законов физики и доступного нам математического аппарата мы пытаемся решить сформулированную нами задачу. Интегральное исчисление используется на том этапе, когда мы свели задачу к некой математической формуле. После каждого этапа интегрального исчисления возможно необходим анализ полученного решения. Только в самых простых задачах возможно использования интеграла в «лоб». Примерами таких задач служат задачи, например, по вычислению пути пройденного телом если задана зависимость скорости тела от времени. Рассмотрим подобную задачу.
Материальная точка имеет скорость согласно уравнению . Найти зависимость перемещение от времени (движение прямолинейное).
Дано
Найти:,
Решение:
По условию задачи точка движется вдоль прямой, следовательно, её перемещение задаётся формулой:
Ответ:
В решённой задаче важно обратить внимание наличие постоянной задающей положение точки в момент начала рассмотрения движения. Это значение не определяется интегрированием, а задаётся условиями задачи.
Чуть более усложним математический аппарат рассмотрим вычисление работы силы при прямолинейном движении тела.
347996192572500Какая работа должна быть совершена при поднятии с земли материалов для постройки цилиндрической дымоходной трубы высотой , наружным диаметром и внутренним диаметром . Плотность материала принять равной .
Дано: , , ,
Найти:
Решение:
Рисунок 1.
Разбивая трубу на тонкие кольца высотой dh, для работы по подниманию этого кольца, на высоту h, имеем:
Работа, которую необходимо совершить для поднятия материалов с земли для постройки трубы, равна:
Ответ:
К подобному же типу задачам относятся задачи гидростатики, позволяющие находить силу давления на вертикальную стенку, погруженную полностью, или частично, в воду, в самой гидростатике, как учебной дисциплине сами интегралы уже не используются, вычисление их как бы опускается и заменяется определёнными формулами