Классификация видов и методов решения алгебраических уравнений и систем

Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные)
Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.) называются трансцендентными
Определение. Уравнением называется равенство, содержащий переменные величины и выполняется лишь при некоторых значениях этих переменных.
Пусть f(x) - функция, определенная при действительных значениях и принимает только действительные значения. Если fx0=0, то число называется нулем функции x0 или корнем уравнения
f(x)=0 (1)
Решим уравнение (1) означает найти все его корни и доказать отсутствие других корней, кроме найденных. Два уравнения f1(x)=0 и f2(x)=0, называется эквивалентным или равносильным, если множество их решения совпадает. Процесс решения уравнения (1) - это преобразование уравнения (1) к виду, который позволяет легко найти его корни. Во время преобразования уравнения (1) область определения уравнения может меняться и при этом возможно появление посторонних корней или потеря корней.
Пример. При решении иррационального уравнения
x-2=2-x (ОДЗ:x≤2), (2)
подносим две части уравнения в квадрат
x-22=2-x , x2-3x+2=0, x1=2, x2=1
При возведении уравнения в квадрат область допустимых значений расширяется и появляется посторонний корень x=1, который является корнем уравнения
x-2=-2-x (3)
При возведении в квадрат обеих частей уравнения (3) может приводить к уравнению x2-3x+2=0 .
2. Уравнения первой степени с одним неизвестным
Рассмотрим уравнение первой степени с параметрами
a∙x=b (2)
1. При a≠0 уравнение имеет одно решение x=b/a .
2. При a=0, b≠0 уравнение не имеет решений.
3. При a=0, b=0 каждое значение x∈R является решением уравнения. Решение уравнения не единственное. Уравнение имеет множество решений.
Пример. Найдем решение линейного уравнения
.
Приводим уравнение к виду
, .
Пример. Решим линейное уравнение
. (3)
При , уравнения переводится к виду
.
1. если a=0 или a=-3, то уравнение (3) не имеет решений.
2. если 2a+3=0, то x∈(-∞,∞), тоесть x∈R .
3. если a≠0, a≠-3, a≠-1,5, то x=-aa+96.
Пример. Найти решение уравнения
, (4)
.
1. если , то уравнение (4) не имеет решений.
2. если , то , x∈(-∞,∞).
3. если , , то .
Во многих случаях систему линейных алгебраических уравнений можно свести к одному линейного уравнения вида (2).
Пример. Найдем решение системе линейных уравнений
Из первого уравнения находим
и подставим в два других уравнения. получим систему
Из первого уравнения находим , и подставим в последнее уравнение. Получим одно уравнение с одним неизвестным . Из предыдущих уравнений находим .
Аналогично исключаются неизвестные из системы линейных алгебраических уравнений с параметрами.
Пример. Найти значение параметра b, при котором система линейных уравнений
есть бесконечно много решений. Кроме неизвестного , получим уравнение
При это уравнение, а следовательно и исходная система линейных уравнений имеет бесконечно много решений.
Пример. Найти значение параметра, при котором система уравнений
не имеет решений. За исключением неизвестного , приходим к уравнению первой степени с одним неизвестным
.
При p=-1 это уравнение исходная система уравнение не имеет решений.
Пример. Найти значение параметра a, которое удовлетворяет следующему условию

. Для любого действительного значения параметра b найдется хотя бы одно значение параметра c такое, что заданная система
есть хотя бы одно решение.
Удалим из системы уравнения неизвестно x и приходим к линейному уравнению
(5)
если , то уравнения (5) имеет решение при любом c. При b=1 или b=-2 коэффициент при y в уравнение (5) превращается в ноль. Чтобы уравнения (5) имело решение необходимо выполнить условия:
8c-c2-a=0 , 8c+2c2-a=0.
Условия возможности параметра c сводится к неравенствам
откуда находим значение параметра .
Пример. Найдем условия разрешимости системы линейных уравнений
Составляя все уравнения системы, находим
, .
Вычитая из этого уравнения системы, находим
.
Это решение существует, если
.
3. Уравнения второй степени с одним неизвестным
Алгебраическое уравнение второй степени с одним неизвестным
(6)
называется также квадратным уравнением.
Уравнения вида
называется приведенным квадратным уравнением и имеет решение
.
Для уравнения (6) это решение можно представить в виде
.
Для корней x1, x2 приведенного квадратного уравнения справедлива формула Виетта
.
Этот результат является следствием тождества
.
Корни квадратного уравнения (6) действительное и различные при D0, кратні при D=0 и не являются действительными при D0. Якщо D0, то многочлен
с действительными коэффициентами a, b, c принимает значение только одного знака. При D=0 многочлен P(X) принимает значение одного знака, за исключением одной точки - кратного корня уравнения (8), где многочлен P(X) приобретает нулевое значения.
4. Задачи на использование свойств дискриминанта
Если дискриминант , то квадратное уравнение дискриминант уравнения Виета
не имеет действительных корней и потому квадратный трехчлен
не меняет своего знака при x∈R и принимает знак коэффициента c или коэффициента a.
Пример. При каких значений параметра p выполняется неравенство
.
Необходимым и достаточным условием выполняются неравенства является выполнение системы неравенств
.
Решая эту систему неравенств, находим ответ: p0.
5. Использование формул Виета
Пример. Найти значение параметра a, при которых отношение корней уравнения
равно двум.
Имеем систему уравнений
Поскольку ищем только значение параметра , то изымаем неизвестные x1, x2. Имеем уравнение:
.
Последнее уравнение имеет решение , .
При из уравнения находим , . При уравнение имеет решение:, .
6. Размещение корней квадратного уравнения
Решение задач и расположения корней квадратного уравнения
, (7)
опирается на те, что графиком функции y=f(x) является парабола, которая выпуклая вниз при A0 и выпуклая вверх при A0 .
Приведем простые теоремы и расположения корней квадратного уравнения (7).
Теорема 1. Если
f(α) f(β)0, то на интервале α,β находится один корень уравнения (7).
Теорема 2. Если Af(α)0 , то точка x=α лежит между корней уравнения (7).
Теорема 3. Если Afα0 , Af(β)0 , то отрезок α,β лежит между корней уравнения (7).
Теорема 4. Если
, то корни уравнения (7) лежать на полуоси .
Теорема 5. Если
, то корни уравнения (16) лежать на полуоси .
Теорема 6. Если , то корни уравнения (7) лежать на интервале .
Пример. Найти значение параметра α, при которых два корни уравнения существуют и принадлежать интервалe (0; 3).
График функции должен пересекать или касаться ось в точках, которые расположены справа от точки