Степенные ряды

Введение

Актуальность темы в том, что ряды - важный аппарат математического анализа, дающий возможность решения многих вопросов, как самого анализа так и его приложений. Вычисление интегралов, не выражающихся через элементарные функции, интегрирование дифференциальных уравнений, составление таблиц логарифмов и тригонометрических функций, представление функций, характеризующих сложные явления, в виде суммы простых гармонических колебаний - таковы примеры задач, использующих аппарат рядов.
Одним из отличительных свойств, степенных рядов является то, что их члены являются сравнительно простыми функциями; частичные суммы степенного ряда представляют собой многочлены от . Относительная простота функций, служит причиной многих свойств, присущих степенным рядам, которыми не обладают, вообще говоря, другие функциональные ряды. Если степенной ряд сходится к некоторой функции , то эта функция с большой степенью точности может быть приближена частичной суммой ряда , т.е. многочленом. Изучение функции с помощью исследования ее приближения - многочлена - является одним из самых важных методов дифференциального исчисления.
Целью данной работы является изучение степенных рядов, исходя из поставленной цели, были определены следующие задачи:
- Выявить определение степенных рядов;
- привести примеры на сходимость степенных рядов.
Структура данной работы состоит из: введения, 2 глав, заключения и списка используемой литературы.


1. Определение степенных рядов
Степенные ряды - это частный случай функциональных рядов, в котором члены ряда представляют собой степени отклонения переменной от некоторой фиксированной точки плоскости (центра сходимости ряда)

. Степенные ряды действительной переменной сходятся в интервале , где - радиус сходимости ряда. Точно так же степенной ряд комплексной переменной сходится на множестве , только в комплексных числах это множество представляет собой круг без границы. Сходимость ряда на границе исследуется отдельно /10, с.87/.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во внешности круга .
Доказательство (аналогично случаю действительной переменной).
1) Пусть ряд сходится в точке и .
Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда .
Тогда .
Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. Оценим общий член ряда из модулей.
.
Ряд из модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ). Следовательно, исходный ряд в области сходится абсолютно /1, с. 154/.
Замечание. Казалось бы, что из признака Вейерштрасса в области следует равномерная сходимость исходного ряда, но здесь , а в признаке Вейерштрасса требуется указать один мажорирующий ряд для всех точек рассматриваемой области, то есть не должно зависеть от .
Поэтому равномерную сходимость ряда в области утверждать нельзя. Однако если взять ( не от ), в степенной будет равномерно признаку .
2) Пусть расходится точке .
Если сходится точке , по в 1), он абсолютно в , следовательно, в . Это тому, исходный расходится точке , исходный расходится области /9, .57/.


2. Примеры сходимость рядов
, если коэффициенты ряда, с , отличны нуля, его сходимости пределу отношения величин общего за членов /2, с.89/, .е..
                            
1