Решить однородные линейные разностные уравнения (с использованием и без использования дискретного преобразования Лапласа)

А) с использованием дискретного преобразования Лапласа
Применяем дискретное преобразование Лапласа:
xn X*p
xn+1 epX*p-x0=epX*p
xn+2 epepX*p-x1=e2pX*p-2ep
И получаем операторное уравнение:
e2pX*p-2ep-4epX*p+4X*p=0
e2p-4ep+4X*p=2ep
X*p=2epep-22
Используем соотношение:
2n epep-2
C учетом того, что:
ddpepep-2=-2epep+12
Применяем теорему о дифференцировании изображения:
-1knkfn dkdpkF*p
И восстанавливаем оригинал:
xn=n2n
б) без использования дискретного преобразования Лапласа
Записываем и решаем характеристическое уравнение:
r2-4r+4=0
r-22=0
r1,2=2
Тогда общее решение уравнения:
xn=2nc1n+c2
Используем начальные условия 𝑥[0] = 0, 𝑥[1] =2:
0=c22=2c1+c2 c1=1c2=0
И решение уравнения:
xn=n2n