Записать по законам Кирхгофа систему уравнений для определения неизвестных токов и ЭДС в ветвях схемы

Преобразуем схему, представленную на рисунке 1, исключив из нее ветвь с идеальным вольтметром (так как сопротивление вольтметра бесконечно велико и ток через него не течет) и заменив ток J источником тока (см. рисунок 2).
1. Запишем по законам Кирхгофа систему уравнений для определения неизвестных токов и ЭДС в ветвях схемы. Для этого рассмотрим схему, представленную на рисунке 2.
Направление токов в ветвях схемы выбираем произвольно. В рассматриваемой схеме 3 узла (Nу = 3) и 4 ветви, в каждой из которых протекает ток I1, I2, I3, I4 (Nв = 4), ток в ветви, содержащей источник тока, известен (задан по условию задачи). Также нам известен ток первой ветви I1, однако неизвестна ЭДС E1. Таким образом, для определения значений четырех неизвестных (токи I2, I3, I4 и ЭДС E1) нам необходимо составить систему из четырех линейных уравнений, используя законы Кирхгофа.
Рисунок 2
По первому закону Кирхгофа необходимо составить (Nу - 1) = 2 уравнения. При составлении уравнений токи, вытекающие из узла, принимаем со знаком "+", втекающие в узел - со знаком "минус".
Для первого узла:
или .
Для второго узла:
или .
Оставшиеся (Nв - (Nу - 1)) = 2 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа. Для этого произвольно выберем и укажем на схеме (см. рисунок 2) направления обхода контуров (в данном случае направления обхода контуров выбраны по часовой стрелке). При составлении уравнений падения напряжений и ЭДС принимаются со знаком "+", если их направления совпадают с выбранным направлением обхода контуров.
Для контура I:
или
.
Для контура II:
или
.
Таким образом, получим систему уравнений:
.
Подставим численные значения:
;
.
2. Определим ЭДС в первой ветви и токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.
Рисунок 3
Для этого в схеме (см. рисунок 3) выберем 3 независимых контура I-III, в которых будут протекать контурные токи I11, I22 и I33. Направления контурных токов выбираем произвольно. При этом, I11 = I1 и I33 = J.
Составим систему из двух линейных уравнений:
.
В последней системе уравнений:
R11, R22 - полные (собственные) сопротивления контуров I-III, определяемые как сумма сопротивлений ветвей принадлежащих рассматриваемому контуру:
;
;
R12, R13, R21, R23 – сопротивления смежных ветвей, определяемые как сумма сопротивлений ветви принадлежащей некоторым двум соседним контурам. При этом данная сумма имеет знак "+" в случае, если в рассматриваемой смежной ветви происходит сложение двух соседних контурных токов, в противном случае данная сумма будет иметь знак "–" . Если некоторые контуры не имеют смежных ветвей, тогда величина сопротивления смежных ветвей между этими контурами принимается равной нулю.
;
;
;
E11, E22 – контурные ЭДС, значение которых определяется как алгебраическая сумма ЭДС входящих в ветви некоторого рассматриваемого контура. ЭДС входящая в данную сумму будет иметь знак "+", если её направление совпадает с направлением контурного тока рассматриваемого контура, в противном случае ЭДС принимается со знаком "–":
;
.
Таким образом, система примет следующий вид:
Подставляем численные значения и решаем полученную систему:
;
;
.
Значения контурных токов, протекающих в схеме представленной на рисунке 2 используем для определения значений токов в ветвях рассматриваемой схемы. Токи в ветвях равны алгебраической сумме соответствующих контурных токов. При этом контурный тока берется со знаком "+", если выбранное направление контурного тока и тока в ветви совпадают:
А;
А;
А;
А.
3. Составим баланс мощностей:
Баланс мощностей заключается в равенстве мощности, отдаваемой источниками, и мощности, получаемой приемниками.
Уравнение баланса мощностей цепи записывается следующим образом:
.
Для рассматриваемой схемы:
;
.
Баланс мощностей может быть определён при условии, что известна величина напряжения на источнике тока . Для определения значения рассмотрим участок анализируемой схемы (рисунок 4), на котором выделим контур III.
Рисунок 4
Используя второй закон Кирхгофа, для контура III запишем следующее уравнение:
;
В.
Вт;
Вт.
Баланс мощностей сошелся, значит, токи в ветвях в п. 2 рассчитаны верно.
4. Найдем показание вольтметра:
Для этого рассмотрим контур IV (см. рисунок 5). Направление обхода контура выбираем по часовой стрелке.
Рисунок 5
Для данного контура по второму закону Кирхгофа составляем следующее уравнение:
.
Откуда выражаем напряжение, которое показывает вольтметр:
В.
5. Определим ток во второй ветви (где R2 и Е2) методом эквивалентного генератора:
Для упрощения расчетов заменим источник тока эквивалентными источниками ЭДС с параметрами:
В;
В.
Тогда схема примет вид, представленный на рисунке 6. При этом в ветви с R4 ток протекать не будет.
Рисунок 6
Метод расчета цепи, основанный на использовании теоремы об активном двухполюснике, называют методом эквивалентного генератора (МЭГ)