Пусть двумерная случайная величина (X, Y) – генеральная совокупность, где Х – вес (в килограммах), а Y – рост (в сантиметрах) случайно взятого человека. В качестве исходных данных студенту предлагается выборка объёмом n = 50 из генеральной совокупности (X, Y).
Для статистической обработки этих данных в контрольной работе требуется выполнить следующее задание:
1. Для величин Х и Y составить группированные ряды. Построить полигоны, гистограммы относительных частот.
2. Вычислить точечные оценки: выборочные средние и ; несмещённые выборочные средние квадратичные отклонения sx и sy.
3. Проверить гипотезы о нормальном законе распределения случайных величин Х и Y при уровне значимости = 0,05.
4. Найти доверительные интервалы для M(X), M(Y), D(X), D(Y) с доверительной вероятностью = 0,95.
5. Составить корреляционную таблицу. Вычислить выборочный коэффициент корреляции rв.
6. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на Х и Х на Y. Построить графики этих прямых на одном рисунке с наблюдаемыми точками (xi, yi), i = 1, ..., n.
Вариант № 12
xi
yi
xi yi
xi yi
xi yi
xi yi
69,7 145 66,5 152 79,4 173 73,6 157 71,0 153
72,8 159 78,6 158 66,2 154 82,3 166 80,6 167
71,5 151 67,6 154 84,2 162 78,5 163 75,5 157
78,0 165 80,4 165 76,0 157 69,8 153 73,4 160
72,3 153 84,3 174 72,9 161 79,5 161 62,0 148
68,1 152 75,5 161 64,6 153 72,4 159 80,0 172
72,1 156 75,1 165 68,2 152 64,4 149 62,8 144
93,2 179 76,9 160 65,3 149 77,6 155 70,0 155
71,5 154 85,6 170 84,0 177 70,5 159 84,2 168
84,7 170 90,2 176 67,0 158 62,7 154 79,1 156
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Составим группированный ряд для величины X.
Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса n = 1 + 3,322log n = 1 + 3,322log(50) = 7 Ширина интервала составит: xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности. xmin - минимальное значение группировочного признака.
Таблица для расчета показателей.
Группы Середина интервала, xцентр
Кол-во, fi
xi·fi
Накопленная частота, S |x-xср|·fi
(x-xср)2·fi
Относительная частота, fi/f
62 - 66.5 64.25 7 449.75 7 74.34 789.491 0.14
66.5 - 71 68.75 9 618.75 16 55.08 337.09 0.18
71 - 75.5 73.25 11 805.75 27 17.82 28.868 0.22
75.5 - 80 77.75 11 855.25 38 31.68 91.238 0.22
80 - 84.5 82.25 8 658 46 59.04 435.715 0.16
84.5 - 89 86.75 2 173.5 48 23.76 282.269 0.04
89 - 93.5 91.25 2 182.5 50 32.76 536.609 0.04
Итого
50 3743.5
294.48 2501.28 1
Средняя взвешенная (выборочная средняя) Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 5.89 Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего). Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия). Среднее квадратическое отклонение. Каждое значение ряда отличается от среднего значения 74.87 в среднем на 7.073 Оценка среднеквадратического отклонения. Доверительный интервал для генерального среднего. В этом случае 2Ф(tkp) = γ Ф(tkp) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475 По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.475 tkp(γ) = (0.475) = 1.96 Стандартная ошибка выборки для среднего: Стандартная ошибка среднего указывает, на сколько среднее выборки 74.87 отличается от среднего генеральной совокупности. Предельная ошибка выборки: ε = tkp sc = 1.96*1.01 = 1.98 Доверительный интервал: (74.87 - 1.98;74.87 + 1.98) = (72.89;76.85) С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала. Доверительный интервал для дисперсии. Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(χ2n-1 < hH) = γ/2 = 0.025. Для количества степеней свободы k=n-1=49, по таблице распределения χ2 находим: χ2(49;0.025) = 67.50481. Случайная ошибка дисперсии нижней границы: Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(χ2n-1 ≥ hB) = 1 - P(χ2n-1 < hH) = 1 - 0.025 = 0.975: χ2(49;0.975) = 32.35736. Случайная ошибка дисперсии верхней границы: Таким образом, интервал (37.05;77.3) покрывает параметр S2 с надежностью γ = 0.05 Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения. S*(1-q) < σ < S*(1+q) Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0.95 и объему выборки n = 50 По таблице q=q(γ ; n) определяем параметр q(0.95;50) = 0.21 7.145(1-0.21) < σ < 7.145(1+0.21) 5.645 < σ < 8.645 Таким образом, интервал (5.645;8.645) покрывает параметр σ с надежностью γ = 0.95 Проверка гипотез о виде распределения. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона. где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа где s = 7.073, xср = 74.87 Теоретическая (ожидаемая) частота равна fi = fpi, где f = 50 Вероятность попадания в i-й интервал: pi = Ф(x2) - Ф(x1)
xi÷xi+1 fi
x1 = (xi - xср)/s
x2 = (xi+1- xср)/s
Ф(x1) Ф(x2) pi=Ф(x2)-Ф(x1) Ожидаемая частота, 50pi Слагаемые статистики Пирсона, Ki
62 - 66.5 7 -1.8013 -1.1715 -0.4649 -0.381 0.0839 4.195 1.8756
66.5 - 71 9 -1.1715 -0.5417 -0.381 -0.2088 0.1722 8.61 0.01767
71 - 75.5 11 -0.5417 0.08818 -0.2088 0.0359 0.2447 12.235 0.1247
75.5 - 80 11 0.08818 0.718 0.0359 0.2642 0.2283 11.415 0.01509
80 - 84.5 8 0.718 1.3479 0.2642 0.4115 0.1473 7.365 0.05475
84.5 - 89 2 1.3479 1.9777 0.4115 0.4761 0.0646 3.23 0.4684
89 - 93.5 2 1.9777 2.6075 0.4761 0.4956 0.0195 0.975 1.0776
50
3.6337
Kkp = χ2(7-2-1;0.05) = 9.48773; Kнабл = 3.63 Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу
. данные выборки имеют нормальное распределение.
Составим группированный ряд для величины Y.
Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса n = 1 + 3,322log n = 1 + 3,322log(50) = 7 Ширина интервала составит: ymax - максимальное значение группировочного признака в совокупности. ymin - минимальное значение группировочного признака.
Таблица для расчета показателей.
Группы Середина интервала, yцентр
Кол-во, fi
yi·fi
Накопленная частота, S |y-yср|·fi
(y-yср)2·fi
Относительная частота, fi/f
144 - 149 146.5 3 439.5 3 40.2 538.68 0.06
149 - 154 151.5 10 1515 13 84 705.6 0.2
154 - 159 156.5 13 2034.5 26 44.2 150.28 0.26
159 - 164 161.5 10 1615 36 16 25.6 0.2
164 - 169 166.5 6 999 42 39.6 261.36 0.12
169 - 174 171.5 4 686 46 46.4 538.24 0.08
174 - 179 176.5 4 706 50 66.4 1102.24 0.08
Итого
50 7995
336.8 3322 1
Средняя взвешенная (выборочная средняя)
Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 6.736 Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
