На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:
а) дифференциальной;
б) символической.
2. Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчета линейных электрических цепей.
3. По результатам, полученным в п.2, составить баланс активных и реактивных мощностей, определить показания ваттметра.
4. Построить круговую диаграмму для тока в одном из сопротивлений цепи при изменении модуля этого сопротивления в пределах от нуля до бесконечности. Сопротивление, подлежащее изменению, отмечено на схеме стрелкой.
Рисунок 1. Заданная схема.
Таблица 1. Исходные данные.
Вариант Рис. L2 L3 С3 R1
19 21,2 мГн
49,6 мГн
27,6 мкФ 17 Ом
46 Em1 φ1 Em3 φ3 f
113 В -5° 56,4 В -40° 90 Гц
Решение
Составление уравнений для расчета токов в цепи по уравнениям Кирхгофа (контуры I и II, узел а):
а) В дифференциальной форме:
i1+i2+i3=0 по первому закону .
i1∙R1-L2∙di2dt=e1 по второму закону .
L2∙di2dt-L3∙di3dt-1С3i3dt=-e3.
б) В символической форме:
I1+I2+I3=0.
I1∙R1-I2∙XL2=E1.
I2∙XL2-I3∙XL3-I3∙-XC3=-E3.
2) Расчет токов по законам Кирхгофа.
Сопротивления элементов цепи:
XL2=2πfL2=2∙3,14∙90∙21,2∙10-3=0,083 Ом.
XL3=2πfL3=2∙3,14∙90∙49,6∙10-3=0,036 Ом.
XС3=12πfС3=12∙3,14∙90∙27,6∙10-6=64,105 Ом.
Комплексы сопротивлений ветвей:
Z1=R1=17 Ом.
Z2=jXL2=j0,083 Ом.
Z3=jXL3-jXС3=j0,036-j64,105=-j64,069 Ом.
Значения ЭДС ветвей:
E1=1132e-j5°=80,142e-j5°=79,837-j6,985 В.
E3=56,42e-j40°=40e-j40°=30,642-j25,712 В.
I1+I2+I3=0I1∙R1-I2∙XL2=E1I2∙XL2-I3∙(XL3-XC3)=-E3
I1+I2+I3=0I1∙R1-I2∙XL2+I3=E1I1+I2∙XL2-I3∙(XL3-XC3)=-E3
1I1+1I2+1I3=017I1-j0,083I2+0I3=79,837-j6,9850I1+j0,083I2+j64,069I3=-30,642+j25,712
Решим эту систему в MathCADe:
I1=4,694-j0,434=4,714e-j5° А,
I2=-4,694+j0,434=4,714ej175° А,
I3=0,407+j0,478=0,628ej50° А.
3) Определение показания ваттметра
PW=Uw∙Iw∙cosφw.
Через ваттметр протекает ток 1-й ветви:
где Uw – действующее значение напряжения;
Iw - действующее значение тока, протекающего через ваттметр;
φw – угол между векторами Uac и I1;
Uac=E1∙1Z1+E3∙1Z31Z1+1Z2+1Z3=79,837-j6,985∙117+30,642-j25,712∙1-j64,069117+1j0,083+1-j64,069=
=4,696-j0,411+0,401+j0,4780,059-j12,048+j0,016=5,097+j0,0670,059-j12,032=-0,003+j0,424=
=0,42ej90° В.
Iw=I1=4,694-j0,434=4,714e-j5° А.
φw=90°--5°=95°.
PW=ReUac∙Re I1∙cosφw=0,42∙4,714∙cos95°=-0,173 Вт.
Второй способ:
PW=ReS;
S=Uw∙Iw=Uac∙I1=-0,003+j0,424∙4,694+j0,434=-0,198+1,989 ВА.
PW=-0,198 Вт.
I1 - сопряженный ток, отличается знаком в мнимой части.
Баланс мощностей:
Ei∙Ii=Ik2∙Zk.
Ei∙Ii=E1∙I1+E3∙I3=
=79,837-j6,985∙4,694+j0,434+30,642-j25,712 ∙0,407-j0,478=377,791+j1,862+0,181-j25,112=377,972-j23,25 .
Ik2∙Zk=I12∙Z1+I22∙Z2+I32∙Z3==4,694-j0,4342∙17+-4,694+j0,4342∙j0,083+0,407+j0,4782∙-j64,069==21,845-j4,074∙17+21,845-j4,074∙j0,083+-0,063+j0,389∙-j64,069==371,365-j69,258+0,338+j1,813+24,923+j4,036=396,626-j57,409
Баланс мощностей незначительно различается, в связи с переводом величин из алгебраической формы записи коплексных чисел в экспоненциальную и обратно.
4) Сопротивление элемента L2 может меняться.
Построим круговую диаграмму для тока через L2 при изменение XL2 от 0 до ∞.
Определим Zвх
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
