Механическая система состоит из ступенчатых шкивов, колёс блоков 1–5 и грузов 6–9 (рис. 1). На рисунке приняты обозначения: Rk – радиус внешней ступени шкива или радиус тела, rk – радиус внутренней ступени шкива, k – радиус инерции тела относительно оси вращения. Для тел 1, 2, 3 заданы радиусы инерции 1, 2, 3 относительно оси вращения, масса тела 4 равномерно распределена по внешнему ободу, тело 5 считать однородным цилиндром. Тела системы соединены друг с другом гибкими невесомыми нерастяжимыми нитями, которые или перекинуты через блоки или намотаны на шкивы, участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Некоторые тела соединены ременными или фрикционными передачами.
В некоторый момент времени под действием силы тяжести система приходит в движение из состояния покоя. При скольжении по плоскостям на грузы действуют силы трения, коэффициент трения скольжения f = 0,1. Качение всех тел происходит без скольжения, при этом для случая качения тел по неподвижным плоскостям следует учитывать трение качения = 1см. Трением в осях вращения пренебречь. Длины нитей и длины участков достаточны для того, чтобы тела при движении не сталкивались друг с другом. Определить скорость груза 6, после того как этот груз переместиться на расстояние s = 10 м. При этом нужно указать, в какую сторону этот груз движется.
Дано: R1 = 1,2 м; r1 = 0,6 м; 1 = 0,9 м; R2 = 1,8 м; r2 = 1,0 м; 2 = 1,5 м; R3 = 0,8 м; 3 = 0,6 м; R4 = 1,3 м; R5 = 1,1 м; m2 = 150 кг; m5 = 120 кг; m6 = 300 кг; m8 = 90 кг; f = 0,1; = 1см = 10–2 м; s = 10 м.
Найти: V6
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
под действием сил тяжести тел, входящих в рассматриваемую механическую систему, груз 6 движется вниз и после перемещения из начального положения на расстояние s = 10 м имеет скорость м/с.
Решение
1. Рассмотрим движение механической системы, изображенной на рисунке 1. Для определения искомой скорости V6 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии
(1)
где и – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях, – сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное, – сумма работ внутренних сил на том же перемещении.
Применение данной теоремы, как, в общем, и других основных теорем динамики механической системы, заключается в том, что вычисляются все, входящие в математическую запись теоремы величины (в данном случае это, , , ), причём одна из них должна выражать зависимость от неизвестного по условию задачи параметра (в данном случае этим параметром является скорость V6). Затем с найденными величинами выполняются действия, указанные в математическом выражении (1), в результате чего находится неизвестный параметр.
2. Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твёрдых тел, соединённых нерастяжимыми нитями, имеем
Определим величины и . Так как в начальный момент времени система находилась в покое, то
В результате уравнение (1) примет вид
(2)
Для решения задачи с помощью уравнения (2) необходимо вычислить кинетическую энергию системы и сумму работ внешних сил . Так как по условию задачи требуется найти скорость тела 6 (V6), то именно через эту неизвестную величину будем выражать кинетические энергии всех тел.
Изображаем на рисунке 2 систему в конечном положении, т.е
. после того, как груз 6 переместится на расстояние s, предполагая при этом, что груз 6 движется вниз. Покажем так же на рисунке в этом положении скорости центров масс тел и угловые скорости тел. Кинетическая энергия системы Т вычисляется как сумма кинетических энергий всех тел, входящих в систему и имеющих массу.
(3)
Груз 6 движется поступательно, его кинетическая энергия определяется выражением
(4)
Груз 8 движется поступательно, его кинетическая энергия определяется выражением
(5)
Ступенчатый шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, его кинетическая энергия находится по формуле
(6)
где J2 – момент инерции шкива 2 относительно оси вращения, 2 – угловая скорость этого шкива. По условию для шкива 2 задан его радиус инерции, поэтому величина момента инерции J2 рассчитывается следующим образом:
(7)
Подставляя правую часть равенства (7) в равенство (6), получим
(8)
Каток 5 совершает плоскопараллельное движение, его кинетическая энергия определяется по формуле
(9)
Для катка 5 указан его радиус (шкив является однородным диском), поэтому величина момента инерции J5 рассчитывается следующим образом:
(10)
Подставляя правую часть выражения (10) в (9), получим
(11)
Выразим все скорости грузов и угловые скорости шкивов через искомую скорость V6.
Груз 6 соединён со шкивом 1 невесомой нитью, причём по внутреннему ободу, следовательно,
(12)
Шкив 1 связан со шкивом 3 фрикционной передачей так, что линейные скорости внешнего обода шкива 1 и шкива 3 равны друг другу, следовательно,
(13)
Шкив 3 связан с грузом 8 невесомой нитью, намотанной на обод шкива 3, следовательно, линейная скорость груза 8 будет равна
(13')
Шкив 1 связан со шкивом 2 невесомой нитью, причём по внешним ободам, следовательно, линейные скорости внешних ободьев шкива 1 и шкива 2 равны друг другу, следовательно,
(14)
Шкив 2 через внутренний радиус соединён невесомой нитью с катком 5, совершающим плоскопараллельное движение
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
