Механическая система состоит из различной формы тел связанных между собой гибкими нерастяжимыми нитями, которые или перекинуты через блоки или намотаны на шкивы, участки нитей параллельны соответствующим плоскостям; некоторые тела соединены ременными или фрикционными передачами. Для ступенчатых блоков 1 и 2 заданы внешний (R) и внутренний (r) радиусы, а также радиусы инерции (ρх)этих тел относительно оси симметрии, проходящей через центр масс.
Массы тел приведены в таблице исходных данных, при этом прочерк означает, что тело отсутствует и изображать его не надо. Если масса тела равна нулю, то данное тело показывается на рисунке, но его массой при расчетах следует пренебречь. Массу цилиндрического тела 4считать равномерно распределенной по внешнему ободу.
В некоторый момент времени под действием сил тяжести система приходит в движение из состояния покоя. При скольжении грузов по плоскостям коэффициент трения скольжения равен f, качение цилиндрических тел происходит без проскальзывания, при этом коэффициент трения качения равен fк. Трением в осях вращения тел пренебречь. Длины нитей и длины участков достаточны для того, чтобы тела при движении не сталкивались друг с другом.
При выполнении задания определить:
‒ придет ли механическая система в движение из состояния покоя при заданном коэффициенте трения скольжения f;
‒ если система придет в движение, то указать в какую (налево или направо) сторону она начнет двигаться; если система остается в состоянии покоя при заданном коэффициенте трения скольжения, то коэффициент уменьшить в 10 раз;
‒ скорость того из груза 9при его перемещении из начального положения на расстояние S = 10м.
Исходные данные (номер условия 3; номер рисунка Д4.6)
Массы тел, кг Коэффициенты трения ρ1xR1
ρ2xR2
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
m8
m9
f
fк, см
6m
0
-
2m
0
m
m
-
5m
0,12
0,15
0,85
0,6
Радиусы тел, м S, м
R1
r1
R2
r2
R4
r4
R5
r5
1,6
0,8
1,3
0,7
0,9
0,2
1,3
0,3
10
Ответ
груз 9 движется вниз, по наклонной плоскости, после перемещения на расстояние S=10 м, будет иметь скорость V9=9,81мс.
Решение
Рассмотрим движение изучаемой механической системы. Предположим, что груз 9 движется вниз (это определяет направления движения всех других тел системы). Для нахождения скорости движения груза V8 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии механической системы:
T-T0=Ake+Aki,
где T0 и T- соответственно начальная и конечная кинетическая энергия системы; Ake- суммарная работа всех внешних сил; Aki- суммарная работа всех внутренних сил.
Определим T0 и T. Так как в начальный момент система находилась в покое, то
T0=0.
Таким образом, исходное уравнение теоремы принимает вид
T=Ake. (1)
Изображаем систему в конечном положении после того, как груз 9 переместился вниз на расстояние S (рис. 1). Покажем для этого положения скорости центров масс и угловые скорости тел. Кинетическая энергия системы T вычисляется как сумма кинетических энергий всех весомых тел системы:
T=T9+T4+T7+T1+T6. (2)
Выразим кинетические энергии всех тел системы через искомую по условию задачи скорость V9, при этом будем последовательно переходить от тела 9 к другим, связанным с ним телам.
Груз 9 совершает поступательное движение, поэтому его кинетическая энергия определяется выражением
T9=12m9V92, (3)
Каток 4 совершает плоское движение, вращается вокруг мгновенного центра скоростей Q4 с угловой скоростью ω4, а его центр масс C4 перемещается со скоростью V4, поэтому его кинетическая энергия
T4=m4V422+J4ω422. (4)
Для катка 4 по условию масса распределена по внешнему ободу, поэтому его момент инерции
J4=m4R42.
Тело 7 также движется поступательно, следовательно, его кинетическая энергия равна
T7=12m7V72
. (5)
Тело 1 вращается вокруг неподвижной оси, поэтому его кинетическая энергия состоит только из энергии вращательного движения, и определяется по формуле
T1=12J1ω12, (6)
где J1=m1ρx12- момент инерции; ω1- его угловая скорость (ось x направлена перпендикулярно к плоскости чертежа).
centertop2
5
60°
15°
6
1
7
4
9
45°
Q4
ω4
ω4
V9
F9
N9
P9
N4
M
C4
C9
C7
A
B
VA
V4
VB
C2
D
VD
V7
F7
E
VE
P4
P1
P6
K
Q5
N7
N6
F6
C6
C1
L
VL
VT
T
V6
ω1
VK
ω2
ω5
Рисунок 1
P7
002
5
60°
15°
6
1
7
4
9
45°
Q4
ω4
ω4
V9
F9
N9
P9
N4
M
C4
C9
C7
A
B
VA
V4
VB
C2
D
VD
V7
F7
E
VE
P4
P1
P6
K
Q5
N7
N6
F6
C6
C1
L
VL
VT
T
V6
ω1
VK
ω2
ω5
Рисунок 1
P7
Тело 6 также совершает поступательное движение, следовательно,
T6=12m6V62. (7)
Все угловые и линейные скорости выражаем через искомую скорость V9.
Как видно из рисунка 1, точки C9 и A движутся одинаковой скоростью:
V9=VA.
Определим угловую скорость тела 4:
ω4=VAR4+r4=V9R4+r4.
Скорость ЦМ C4:
V4=ω4R4=R4R4+r4V9.
VB=V4=R4R4+r4V9.
Угловая скорость тела 2:
ω2=VBR2=R4R2R4+r4V9.
Скорость точки D:
VD=ω2r2=r2R4R2R4+r4V9.
Далее
V7=VD=r2R4R2R4+r4V9.
VE=V7=r2R4R2R4+r4V9.
ω1=VEr1=r2R4r1R2R4+r4V9.
VK=ω1R1=R1r2R4r1R2R4+r4V9.
VL=VK=R1r2R4r1R2R4+r4V9.
ω5=VLR5+r5=R1r2R4R5+r5r1R2R4+r4V9.
VT=2ω5r5=2r5R1r2R4R5+r5r1R2R4+r4V9.
И, наконец,
V6=VT=2r5R1r2R4R5+r5r1R2R4+r4V9.
Таким образом, все скорости, входящие в выражения кинетических энергий, выражали через V9. Подставим в (4), (5) и (6) полученные скорости, а также выражения для моментов инерции, потом все это, вместе с(3), подставим в (2), получим суммарную кинетическую энергию всех весомых тел.
T=T9+T4+T7+T1+T6=
=12m9V92+m4V422+J4ω422 +12m7V72+12J1ω12+12m6V62=
=12m9V92+m42R4R4+r42V92+12 m4R421R4+r42V92+
+12m7r2R4R2R4+r42V92+12m1ρx12r2R4r1R2R4+r42V92+
+12m62r5R1r2R4R5+r5r1R2R4+r42V92=
=125+2R4R4+r42+R4R4+r42+r2R4R2R4+r42+4,335R1r2R4r1R2R4+r42++2r5R1r2R4R5+r5r1R2R4+r42mV92=
Обозначим приведенную массу
mпр.=5+3R4R4+r42+r2R4R2R4+r42+4,335R1r2R4r1R2R4+r42+2r5R1r2R4R5+r5r1R2R4+r42m.
Тогда кинетическая энергия системы примет простой и компактный вид:
T=12mпр.V92.
Вычислим приведенную массу.
3R4R4+r42=3∙0,90,9+0,22=2,01;
r2R4R2R4+r42=0,7∙0,91,3∙0,9+0,22=0,19
4,335R1r2R4r1R2R4+r42=4,3351,6∙0,7∙0,90,8∙1,3∙0,9+0,22=3,37
2r5R1r2R4R5+r5r1R2R4+r42=2∙0,3∙1,6∙0,7∙0,91,3+0,3∙0,8∙1,3∙0,9+0,22=0,11.
mпр.=5+2,01+0,19+3,37+0,11m=10,68m.
Тогда
T=12mпр.V92=5,34mV92;
T=5,34mV92
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
