Магазин может закупить для реализации 100, 150 или 200 кг скоропортящегося товара по цене 30 руб. за кг. В зависимости от уровня спроса (пониженный, умеренный, повышенный) в день реализации может быть продано 100, 150 или 200 кг товара по цене 50 руб. за кг. Остаток товара можно реализовать на следующий день, но по цене 20 руб. за кг. Представьте ситуацию в виде игры с природой и предложите оптимальное решение по закупке товара.
При решении используйте критерии Байеса-Лапласа, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Ходжа-Лемана. Для критерия Байеса-Лапласа взять следующие вероятности возможного уровня реализации спроса:
Спрос пониженный умеренный повышенный
Вероятность, qj
0,4 0,4 0,2
При применении критерия Гурвица величину коэффициента доверия α взять равной 0,4. Аналогичный параметр для критерия Ходжа-Лемана выбрать самостоятельно в интервале (0; 1).
Что можно сказать о применении критерия Гермейера в процессе принятия решения?
Нужно полное решение этой работы?
Решение
В игре участвуют 2 игрока: А – магазин, П – потребитель (природа).
Игрок А стремится реализовать свою продукцию так, чтобы получить максимальную прибыль. Стратегиями игрока А являются:
А1 – закупить 200 кг товара в расчете на повышенный спрос,
А2 – закупить 150 кг товара в расчете на умеренный спрос,
А3 – закупить 100 кг товара в расчете на пониженный спрос.
Природа П может находиться в следующих состояниях:
В1 – повышенное состояние спроса,
В2 – умеренное состояние спроса,
В3 – пониженное состояние спроса.
Рассчитаем элементы платежной матрицы (прибыль магазина, руб.):
Состояния природы П
П1 П2 П3
200 кг 150 кг 100 кг
Стратегии игрока А А1 200 кг 200*(50-30)= 4000 150*(50-30) +50*(20-30)=2500 100*(50-30)+ 100*(20-30)=1000
А2 150 кг 150*(50-30)= 3000 150*(50-30)=3000 100*(50-30)+ 50*(20-30)=1500
А3 100 кг 100*(50-30)= 2000 100*(50-30)=2000 100*(50-30)=2000
Окончательно, платежная матрица примет вид
Стратегии П1 П2 П3
А1 4000 2500 1000
А2 3000 3000 1500
А3 2000 2000 2000
Найдем седловую точку, для чего составим расчетную таблицу
Стратегии П1 П2 П3 αi=min аij
j
А1 4000 2500 1000 1000
А2 3000 3000 1500 1500
А3 2000 2000 2000 2000
βj=max аij
i
4000 3000 2000
α = max αi = 2000 β = min βj = 2000
Так как α = β = ν = 2000, то найдена седловая точка. Значит оптимальное решение: А3; В3
Магазин (игрок А) получит гарантированную прибыль в размере 2000 руб., если будет реализовывать свою продукцию при пониженном уровне спроса при объеме закупки товара в 100 кг.
Применим различные критерии для решения задачи.
Критерий Байеса.
По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.
Считаем значения ∑(aijpj)
∑(a1,jpj) = 4000*0.4 + 2500*0.4 + 1000*0.2 = 2800
∑(a2,jpj) = 3000*0.4 + 3000*0.4 + 1500*0.2 = 2700
∑(a3,jpj) = 2000*0.4 + 2000*0.4 + 2000*0.2 = 2000
Ai П1 П2 П3 ∑(aijpj)
A1 1600 1000 200 2800
A2 1200 1200 300 2700
A3 800 800 400 2000
pj
0.4 0.4 0.2
Выбираем из (2800; 2700; 2000) максимальный элемент max=2800
Вывод: выбираем стратегию А1
.
Критерий Лапласа.
Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q1 = q2 = ... = qn = 1/n.
qi = 1/3
Ai П1 П2 П3 ∑(aij)
A1 1333.333 833.333 333.333 2500
A2 1000 1000 500 2500
A3 666.667 666.667 666.667 2000
pj
0.333 0.333 0.333
Выбираем из (2500; 2500; 2000) максимальный элемент max=2500
Вывод: выбираем стратегию А1.
Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min aij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Ai П1 П2 П3 min(aij)
A1 4000 2500 1000 1000
A2 3000 3000 1500 1500
A3 2000 2000 2000 2000
Выбираем из (1000; 1500; 2000) максимальный элемент max=2000
Вывод: выбираем стратегию А3.
Критерий Сэвиджа.
Критерий минимального риска Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max rij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
