Имеем длинный цилиндр (не труба) диаметром d0 =2∙r0 с начальной температурой tцн,℃

Диаметр цилиндра
d0=2∙r0=2∙0,150=0,3 м .
Коэффициент температуропроводности a материала цилиндра:
a=λc∙ρ ,
где λ=0,77 Вт/(м·К)- коэффициент теплопроводности материала цилиндра;
ρ=1800 кг/м3- плотность материала цилиндра;
c=879 Дж/(кг·К)- теплоёмкость материала цилиндра;
a=0,77879∙1800=4,86664∙10-7 м2с .
Число Рейнольдса Re набегающего потока воздуха
Re=w∙d0ν ,
где w=15мс- заданная скорость набегающего потока воздуха;
ν=15,06∙10-6 м2с- коэффициент кинематической вязкости воздуха при заданной температуре tв=20℃;
Re=15∙0,315,06∙10-6=2,988∙105 ≈3∙105>2∙105 ,
имеем развитую турбулентность.
По формуле А.А. Жукаускаса [1, стр. 224] число Нуссельта Nud при поперечном обтекании цилиндра для среднего по поверхности цилиндра коэффициента теплоотдачи α при найденном числе Рейнольдса Re определяется по критериальному уравнению:
для 2∙103≪Re≪2∙105
Nud=0,25∙Re0,6∙Pr0,38PrжPrст0,25 ,
где Prж=0,703- число Прандтля воздуха при заданной температуре воздуха tв=20℃ [1, стр. 468];
Prст=0,687- число Прандтля воздуха при начальной температуре поверхности цилиндра tцн=500℃ [1, стр. 468];
для газов принимается
Nud=0,25∙2,978∙1050,6∙0,7030,38∙0,7030,6870,25=422,95 .
Коэффициент теплоотдачи α:
α=Nud∙λвоздd
где λвозд=0,0259 Вт/(м·К)- коэффициент теплопроводности воздуха при заданной температуре tв=20℃;
α=422,95∙0,02590,3=36,515 Втм2∙К .
Относительная (избыточная) температура θr для бесконечного цилиндра:
θrτ, r=tцτ, r-tв ;
Относительная (избыточная) температура θ0r для бесконечного цилиндра в начальный момент времени τ=0:
θ0rτ=0, r=tцнr-tв=500-20=480 ℃;
Безразмерная температура Θr для бесконечного цилиндра
Θr=θrτ, rθ0r , (1)
Откуда, обратным расчётом:
tцτ, r=tв+θrτ, r=tв+Θr∙θ0r . (2)
- Распределение температуры по толщине цилиндра с течением времени τ
Дифференциальное уравнение теплопроводности для нестационарного одномерного случая в цилиндрической системе координат с центром на оси цилиндра [1, стр . 88]:
∂θ∂τ=a∂2θ∂r2+1r∂θ∂r , (3)
где a=4,86664∙107 — найденный ранее коэффициент температуропроводности материала цилиндра.
Критерий Био для характерного размера r0:
Bir=α∙r0λ=36,515∙0,150,77=14,227 . (4)
Критерий Фурье For (выступает как безразмерное время) и может быть записан как
For=a∙τr02=4,86664∙10-70,152∙τ=2,16295∙10-5 ∙τ . (5)
В общем случае безразмерная температура Θr находится как сумма бесконечного ряда [1, стр. 88-92]
Θr=n=1n→∞Cn∙⁡J0μn∙RJ0μn∙exp-μn2∙For (6),
где R — безразмерный радиус (координата)
R=rr0 , R=0…1 ;
на оси цилиндра R=0, на поверхности — R=1;
μn — корни характеристического трансцендентального уравнения, первые четыре корня которого, представлены в таблице 2.
μnBir=J0μnJ1μn ;
откуда
μn=J0μnJ1μnBir ; (7)
J0, J1 — функция Бесселя первого рода нулевого и первого порядка, которые либо берутся из таблицы, либо вычисляются с помощью встроенной инженерной функции БЕССЕЛЬ.J(x;n) приложения excel;
Сn — коэффициенты (постоянные), определяемые из начальных условий
Сn=2∙BirBir2+μn2 . (8)
Таблица 2.
Первые четыре корня уравнения μBir=J0μnJ1μnдля Bi=15 (для цилиндра) [1, стр. 90]:
μn
Bi
n=1
n=2
n=3
n=4
15 2,2509 5,1773 8,1422 11,1367
Для аналитического решения для регулярной теплопроводности при For>0,25 при расчете безразмерной температуры достаточно первого члена ряда Θr1 выражения (6), т.к. остальные стремятся к нулю:
Θr=Θr1=C1∙J0μ1∙RJ0μ1∙exp-μ12∙For,
С1=2∙BirBir2+μ12 .
Наступление регулярного режима соответствует физическому времени
2,16295∙10-5 ∙τ=0,25;
τ=0,252,16295∙10-5=11558 с≈3 часа 13 минут ,
т.е. наступает через достаточно длительный промежуток времени из-за низкого коэффициента теплопроводности материала цилиндра