Для двухмассовой системы (модели) сооружения (рис. 3.1), фундамент которой испытывает горизонтальное кинематическое воздействие ℎ(𝑡), требуется:
1) составить уравнения движения;
2) найти собственные частоты и собственные формы колебаний;
3) изобразить графически формы собственных колебаний и проверить их ортогональность;
4) определить реакцию системы на импульсное воздействие ℎ = ℎ0 ∙ 𝛿(𝑡), где ℎ0 = 10−2 м ∙ с,
𝛿(𝑡) − дельта-функция Дирака, размерность [𝛿(𝑡)] = с −1 ;
5) дополнить исходную двухмассовую систему сооружения несколькими этажами n (массами) и межэтажными упругими элементами жесткостью сэ ;
6) для дополненной системы сооружения составить уравнения движения, получить выражения матриц масс и жесткостей и составить операторное обращение в системе MatCad для расчета собственных частот и собственных форм колебаний.
При расчетах принять: массу фундамента 𝑚ф = 𝐾1 ∙ 𝑚, где 𝑚 = 105кг; массу этажа 𝑚э = 𝐾2 ∙ 𝑚; жесткость связи фундамента с грунтом 𝑐ф = 𝐾3 ∙ 𝑐,
где 𝑐 = 1011𝐻 ∙ м −1 ; жесткость связи между этажами с 𝐾4 ∙ 𝑐. Демпфированием пренебречь. Значения коэффициентов 𝐾1, 𝐾2, 𝐾3, 𝐾4 и число добавляемых этажей 𝑛 взять из табл. 3.1 согласно индивидуальному номеру варианта, выданного на первом занятии.
=
Исходные данные: масса фундамента 𝑚ф = 1,9 ∙ 𝑚=1,9∙ 105кг, где 𝑚 = 105кг; масса этажа 𝑚э = 1,2𝑚=1,2∙ 105кг; жесткость связи (суммарная) фундамента с грунтом 𝑐ф = 1,8 ∙ 𝑐, где 𝑐 = 1011𝐻∙м−1 ; жесткость связи между этажами сэ = 1,1∙1011𝐻∙м−1. Число этажей n=9. Демпфированием пренебречь.
Решение
Составление уравнений движения Система имеет две степени свободы. Вводим две обобщенные координаты 𝑞1 и 𝑞2 – горизонтальные смещения масс (рис. 1, б).
Рисунок 1
Разъединим связи (пружины) и показываем силы, действующие в них: - в связи фундамента с грунтом действует сила 1,8𝑐 ∙ (𝑞1 − ℎ); - в связи фундамента с этажом сооружения действует сила 𝑐 ∙ (𝑞1 − 𝑞2). В соответствии с принципом Даламбера вводим две инерционные силы, равные 1,9𝑚∙𝑞̈1 и 𝑚∙𝑞̈2 и направленные в противоположном направлении к положительным направлениям координат 𝑞1 и 𝑞2. Записываем уравнения движения в виде уравнений динамического равновесия масс :
1,9m∙q1+1,8c∙q1-h+1,1c∙q1-q2=0m∙q2-1,1c∙q1-q2=0
M∙q+C∙q=h
M=1,9m00m
C=2,9c-1,1c-1,1c1,1c
h=1,8ch0
Определение собственных частот и собственных форм колебаний
Уравнение для определения собственных частот:
или в развернутом виде:
2,9c-1,9mω02 -1,1c-1,1c 1,1c-mω02 =0
2,9c-1,9mω02∙1,1c-mω02-1,21c2=0
1,9m2ω04-4,99cmω02+1,98c2=0
ω02=4,99cm±(4,99cm)2-4∙1,9m2∙1,98c23,8m2
Корням этого частотного уравнения соответствуют две собственные частоты малых колебаний системы
ω12=0,487cm; ω22=2,139cm
ω1=0,698cm=0,6981c1011105=6981c;f1=ω12π=111,1 Гц
ω2=1,462cm=1,4621011105=14621c;f1=ω22π=232,7 Гц
Введя обозначение p=cm , собственные частоты запишем в виде:
ω1=0,698p
ω2=1,462p
Уравнение для определения собственных форм колебаний:
или в развернутом виде:
2,9c-1,9mω02-1,1c-1,1c1,1c-mω02∙V1V2=0
Собственные формы, т.е
. соотношения амплитуд колебаний масс на собственных частотах, могут быть получены из любого уравнения последней системы.
Воспользуемся, например, первым уравнением.
Тогда
V2V1=2,9c-1,9mω021,1c
Для первой собственной частоты
ω02=ω12=0,487cm
V21V11=2,9c-1,9m∙0,487cm1,1c=1,795
Здесь первый индекс у амплитуд соответствует номеру координаты, а второй – номеру частоты. Для второй собственной частоты
ω02=ω22=2,139cm
V21V11=2,9c-1,9m∙2,139cm1,1c=-1,058
Поскольку собственные формы определяются с точностью до произвольного множителя, то одну из амплитуд для каждой собственной частоты можно задать произвольно. Примем V11 = V12 = 1, получим собственные векторы:
V21=1,795
V22=-1,058
V1=11,795, V2=1-1,058,
и матрицу собственных форм:
V=111,795-1,058
Графическое изображение форм собственных колебаний и проверка их ортогональности
На рис. 2 показаны найденные собственные формы в графическом виде.
Рисунок 2
Проверка ортогональности собственных форм. Для ортогональности найденных двух форм колебаний должно выполняться условие:
Подставляем в это соотношение найденные значения
1,9𝑚 ∙ 1 ∙ 1 + 𝑚 ∙ 1,795 ∙ (−1,058) = 0, т. е. условие ортогональности выполняется.
Определение реакции системы на импульсное воздействие
ℎ = ℎ0 ∙ 𝛿(𝑡),
где ℎ0 = 10−2 м ∙ с, 𝛿(𝑡) − дельта-функция Дирака, размерность [𝛿(𝑡)] = с −1 ;
Записываем уравнения вынужденных колебаний системы:
1,9m∙q1+1,8c∙q1-1,1c∙q2=1,8∙c∙h0∙δ(t)m∙q2-1,1c∙q1-q2=0
Решение этой системы неоднородных дифференциальных уравнений можно заменить на решение системы однородных уравнений при следующих начальных условиях:
где скорость
q10=1,8∙c∙h0mф=1,8∙c∙h01,9m=0,947∙c∙h0m
По окончании действия импульса в системе возникают свободные колебания, которые найдем методом разложения движения системы по собственным формам:
q=q1q2=V∙u
V=V11V12V21V22=111,795-1,058- матрица собственных форм
u (𝒕) − вектор главных координат, определяемый из следующего соотношения:
u=V-1∙q
Найдём обратную матрицу 𝑽 −𝟏
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
