Дана балка на двух опорах, на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка q = 1,5 кН/м (1-5 вниз), сосредоточенная сила Р = 3,0 кН (2 вниз), и момент М = 16 кН⋅м (6 по ЧС) (рисунок П2.1). Длина участков l1 = 1,1 м, l2 = 0,4⋅1,1 = 0,44 м, l3 = 0,5⋅1,1 = 0,55 м, l4 = 0,3⋅1,1 = 0,33 м, l5 = 0,4⋅1,1 = 0,44 м, l6 = 1,6⋅1,1 = 1,76 м, l7 = 1,5⋅1,1 = 1,65 м. Соотношение размеров прямоугольного сечения h/b = 2,0. Механические характеристики материала (Ст 25): [σ] = 275 МПа, Е = 2∙105 МПа.
Требуется:
Определить опорные реакции.
Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
Из условия прочности подобрать номера швеллера и двутавра, а также определить диаметр круга и размеры прямоугольника.
Выбрать профиль балки с наименьшей площадью поперечного сечения.
Для выбранной балки составить примерное дифференциальное уравнение упругой линии, построить эпюры углов поворота сечений и прогибов.
Решение
Определяем реакции в опорах.
MAi=0,
ql1+l222+Pl2-ql3+l422+RBl3+l4-M=0
RB=-ql1+l222-Pl2+ql3+l422+Ml3+l4=
=-1,5⋅1,5422-3⋅0,44+1,5⋅0,8822+160,88=15,32 кН
MBi=0,
ql1+l2+l3+l422+P(l2+l3+l4)-RAl3+l4-M=0
RA=ql1+l2+l3+l422+P(l2+l3+l4)-Ml3+l4=
=1,5⋅2,4222+3⋅1,32-160,88=-8,96 кН
Проверка:
Pyi=0RA-P-ql1+l2+l3+l4+RB=0-8,96-3-1,5⋅2,42+15,32=0;0≡0,
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1<l1
Qy1=-qx1;Qy1=0 x1=0;Qy1=-1,5⋅1,1=-1,65 кН x1=1,1 м
Mz1=-qx122; Mz1=0 x1=0;Mz1=-1,5⋅1,122=-0,91 кН⋅м x1=1,1 м
2-й участок 0≤x2<l2
Qy2=-ql1+x2-P
Qy2=-ql1-P=-1,5⋅1,1-3=-4,65 кН x2=0;
Qy2=-ql1+l2-P=-1,5⋅1,54-3=-5,31 кН (x2=0,44 м)
Mz2=-ql1+x222-Px2;
Mz2=-ql122=-1,5⋅1,122=-0,91 кН⋅м x2=0;
Mz2=-ql1+l222-Pl2=-1,5⋅1,5422-3⋅0,44=-3,1 кН⋅м (x2=l3+l4+l5)
3-й участок 0≤x3<l3+l4
Qy3=-ql1+l2+x3+RA-P;
Qy3=-ql1+l2+RA-P=-1,5⋅1,54-8,96-3=-13,99 кН;x3=0
Qy3=-ql1+l2+l3+RA-P=-1,5⋅2,42-8,96-3=-15,32 кН;x3=l3+l4
Mz3=-ql1+l2+x322+RAx3-P(l2+x3);
Mz3=-ql1+l222-Pl2=-1,5⋅1,5422-3⋅0,44=-3,1 кН⋅м x3=0;
Mz3=-ql1+l2+l322+RAl3-Pl2+l3=-1,5⋅2,4222-3⋅1,32-8,96⋅0,88=-16 кН⋅м x3=l3+l4
4-й участок 0≤x4<l6+l7
Qy4=0;
Mz4=-M=-16 кН⋅м;
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок П2.1).
Составляем условие прочности.
σmax=Mz maxWz≤σ,
Так как Mz max=16 кН⋅м, то
Wz≥16⋅103275⋅106=58,2⋅10-6 м3=58,2 см3
По справочным данным стали прокатной подбираем:
Двутавр № 12 (Wz= 58,4 см3, Fд= 14,7 см2);
Швеллер № 14 (Wz= 70,2 см3, Fш= 15,6 см2).
Подбираем размеры круга и прямоугольника.
Для круга
Wz=πd332
тогда
d=332Wzπ=332⋅58,2π=8,4 см
Площадь круга:
Fк=πd24=π⋅8,424=55,42 см2
Для прямоугольника Wz=bh26=b(2b)26=0,667b3, поэтому
b=3Wz0,667=358,20,667=4,44 см
Определим площадь:
Fп=bh=2b2=39,35 см2
Из четырех сечений наиболее выгодным является двутавр (Wz = 58,4 см3, Fд = 14,7 см2, Iz=350 см4), как обладающий наименьшей площадью.
Определяем углы поворота сечений и прогибы.
Запишем обобщенную функцию изгибающего момента Мz и подставим ее в примерное дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Mz=-qx22⟵1-Px-l1⟵2+RAx-l1-l2⟵3+RBx-l1-l2-l3-l4+qx-l1-l2-l3-l422⟵4+Mx-l1-l2-l3-l4-l50⟵5
Mz=-qx22⟵1-Px-1,1⟵2+RAx-1,54⟵3+RBx-2,42+qx-l1-l2-l3-l422⟵4+Mx-2,860⟵5
d2ydx2=1EIz-qx22⟵1-Px-1,1⟵2+RAx-1,54⟵3+RBx-2,42+qx-2,4222⟵4+Mx-2,860⟵5
Последнее выражение проинтегрируем дважды без раскрытия скобок:
dydx=θ=1EIzC-qx36⟵1-Px-1,122⟵2+RAx-1,5422⟵3+RBx-2,4222+qx-2,4236⟵4+Mx-2,86⟵5
y=1EIzCx+D-qx424⟵1-Px-1,136⟵2+RAx-1,5436⟵3+RBx-2,4236+qx-2,42424⟵4+Mx-2,8622⟵5
Постоянные интегрирования C и D найдем из граничных условий:
при х = 1,54 м; у = 0 (шарнирно-подвижная опора в начале 3-го участка) и при х = 2,42 м; у = 0 (шарнирно-подвижная опора в начале 4-го участка)
Cx+D-qx424⟵1-Px-1,136⟵2=0;Cx+D-qx424⟵1-Px-1,136⟵2+RAx-1,5436⟵3=0
C⋅1,54+D-1,5⋅1,54424-3⋅1,54-1,136=0;C⋅2,42+D-1,5⋅2,42424-3⋅2,42-1,136+-8,962,42-1,5436=0
1,54C+D=0,394;2,42C+D=4,311;
C=4,45;D=-6,46
Для первого участка (0≤x<1,1 м)
θ=1EIz⋅C-qx36;θ=4,45EIzx=0;θ=1EIz⋅4,45-1,5⋅1,136=4,12EIz (x=1,1 м);
y=1EIzCx+D-qx424;
y=1EIz⋅D=-6,46EIz x=0;
y=1EIzCx+D-qx424=1EIz4,45⋅1,1-6,46-1,5⋅1,1424=-1,66EIz (x=1,1 м)
Для второго участка (1,1≤x<1,54 м)
θ=1EIz⋅C-qx36-Px-1,122;
θ=1EIz⋅4,45-1,5⋅1,136=4,12EIz x=1,1 м;
θ=1EIz⋅4,45-1,5⋅1,5436-3⋅1,54-1,122=3,25EIz (x=1,54 м);
y=1EIz⋅Cx+D-qx36-Px-1,122;
y=1EIz4,45⋅1,1-6,46-1,5⋅1,1424=-1,66EIz (x=1,1 м)
y=1EIz⋅4,45⋅1,54-6,46-1,5⋅1,54424-3⋅1,54-1,136=0 (x=1,54 м);
Для третьего участка (1,54≤x<2,42 м)
θ=1EIz⋅C-qx36-Px-1,122+RAx-1,5422;
θ=1EIz⋅4,45-1,5⋅1,5436-3⋅1,54-1,122=3,25EIz x=1,54 м;
θ=1EIz⋅4,45-1,5⋅2,4236-3⋅2,42-1,122+-8,962,42-1,5422=-5,18EIz x=2,42 м;
y=1EIz⋅Cx+D-qx424-Px-1,136+RAx-1,5436;
y=1EIz⋅4,45⋅1,54-6,46-1,5⋅1,54424-3⋅1,54-1,136=0 (x=1,54 м);
y=1EIz⋅4,45⋅2,42-6,46-1,5⋅2,42424-3⋅2,42-1,136+-8,962,42-1,5436=0 (x=2,42 м);
Для четвертого участка (2,42≤x<2,86 м)
θ=1EIz⋅C-qx36-Px-1,122+RAx-1,5422+RBx-2,4222+qx-2,4236;
θ=1EIz⋅4,45-1,5⋅2,4236-3⋅2,42-1,122+-8,962,42-1,5422=-5,18EIz x=2,42 м;
θ=1EIz⋅4,45-1,5⋅2,8636-3⋅2,86-1,122+-8,962,86-1,5422+15,322,86-2,4222+1,52,86-2,4236=-12,34EIz x=2,86 м;
y=1EIz⋅Cx+D-qx36-Px-1,122+RAx-1,5422+qx-2,42424;
y=1EIz⋅4,45⋅2,42-6,46-1,5⋅2,42424-3⋅2,42-1,136+-8,962,42-1,5436=0 (x=2,42 м);
y=1EIz⋅4,45⋅2,86-6,46-1,5⋅2,86424-3⋅2,86-1,136+-8,962,86-1,5436+15,322,86-2,4236+1,52,86-2,42424=-8,22EIz (x=2,86 м);
Для пятого участка (2,86≤x<6,27 м)
θ=1EIz⋅C-qx36-Px-1,122+RAx-1,5422+RBx-2,4222+qx-2,4236+Mx-2,86;
θ=1EIz⋅4,45-1,5⋅2,8636-3⋅2,86-1,122+-8,962,86-1,5422+15,322,86-2,4222+1,52,86-2,4236=-12,34EIz x=2,86 м;
θ=1EIz⋅4,45-1,5⋅6,2736-3⋅6,27-1,122+-8,966,27-1,5422+15,326,27-2,4222+1,56,27-2,4236+20(6,27-2,86)=-1,49EIz x=6,27 м;
y=1EIzCx+D-qx36-Px-1,122+RAx-1,5422+qx-2,42424+Mx-2,8622
y=1EIz⋅4,45⋅2,86-6,46-1,5⋅2,86424-3⋅2,86-1,136+-8,962,86-1,5436+15,322,86-2,4236+1,52,86-2,42424=-8,22EIz (x=2,86 м);
y=1EIz4,45⋅6,27-6,46-1,5⋅6,27424-3⋅6,27-1,136+-8,966,27-1,5436+15,326,27-2,4236+1,56,27-2,42424+206,27-2,8622=-26,5EIz (x=6,27 м);