Дана балка на двух опорах, на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка q = 1,5 кН/м (3-8 вверх), сосредоточенная сила Р = 3,0 кН (6 вниз), и момент М = 20 кН⋅м (6 по ЧС) (рисунок П2.1). Длина участков l1 = 1,1 м, l2 = 0,6⋅1,1 = 0,66 м, l3 = 0,5⋅1,1 = 0,55 м, l4 = 0,4⋅1,1 = 0,44 м, l5 = 0,3⋅1,1 = 0,33 м, l6 = 1,6⋅1,1 = 1,76 м, l7 = 1,5⋅1,1 = 1,65 м. Соотношение размеров прямоугольного сечения h/b = 3,0. Механические характеристики материала (Ст 35): [σ] = 315 МПа, Е = 2∙105 МПа.
Требуется:
Определить опорные реакции.
Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
Из условия прочности подобрать номера швеллера и двутавра, а также определить диаметр круга и размеры прямоугольника.
Выбрать профиль балки с наименьшей площадью поперечного сечения.
Для выбранной балки составить примерное дифференциальное уравнение упругой линии, построить эпюры углов поворота сечений и прогибов.
Решение
Определяем реакции в опорах.
MAi=0,
-Pl3+l4+l5-M+ql3+l4+l5+l6+l722+RBl3+l4+l5+l6=0
RB=Pl3+l4+l5+M-ql3+l4+l5+l6+l722l3+l4+l5+l6=
=3⋅1,32+20-1,5⋅4,73223,08=2,33 кН
MBi=0,
-RAl3+l4+l5+l6+Pl6-M-ql3+l4+l5+l622+ql722=0
RA=Pl6-M-ql3+l4+l5+l622+ql722l3+l4+l5+l6=
=3⋅1,76-20-1,5⋅3,0822+1,5⋅1,65223,08=-6,43 кН
Проверка:
Pyi=0RA-P+ql3+l4+l5+l6+l7+RB=0-6,43-3+1,5⋅4,73+2,33=0;0≡0,
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1<l1
Qy1=0;
Mz1=0
2-й участок 0≤x2<l3+l4+l5
Qy2=RA+qx2
Qy2=RA=-6,43 кН x2=0;
Qy2=RA+ql3+l4+l5=-6,43+1,5⋅1,32=-4,45 кН (x2=1,32 м)
Mz2=RAx2+qx222;
Mz2=0 x2=0;
Mz2=RA(l3+l4+l5)+ql3+l4+l522=-6,43⋅1,32+1,5⋅1,3222=-7,18 кН⋅м (x2=l3+l4+l5)
3-й участок 0≤x3<l6
Qy3=RA-P+q(l3+l4+l5+x3);
Qy3=RA-P+ql3+l4+l5=-6,43-3+1,5⋅1,32=-7,45 кН;x3=0
Qy3=RA-P+ql3+l4+l5+l6=-6,43-3+1,5⋅3,08=-4,81 кН;x3=l3+l4+l5
Mz3=RAl3+l4+l5+x3+ql3+l4+l5+x322-Px3+M;
Mz3=RAl3+l4+l5+ql3+l4+l522+M=-6,43⋅1,32+1,5⋅1,3222+10=12,82 кН⋅м x3=0;
Mz3=RAl3+l4+l5+l6+ql3+l4+l5+l622-Pl6+M=-6,43⋅4,08+1,5⋅4,0822-3⋅1,76+20=2,04 кН⋅м; x3=l3+l4+l5
4-й участок 0≤x4<l7
Qy4=-qx4;
Qy4=0;x4=0;
Qy4=-ql7=-1,5⋅1,65=-2,48 кН (x4=l6);
Mz4=qx422;
Mz4=0 x4=0;Mz4=ql722=1,5⋅1,6522=2,04 кН⋅м (x4=l7)
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок П2.1).
Составляем условие прочности.
σmax=Mz maxWz≤σ,
Так как Mz max=12,82 кН⋅м, то
Wz≥12,82⋅103315⋅106=40,7⋅10-6м3=40,7 см3
По справочным данным стали прокатной подбираем:
Двутавр № 10 (Wz= 39,7 см3, Fд= 12 см2);
Швеллер № 12 (Wz= 50,6 см3, Fш= 13,3 см2).
Подбираем размеры круга и прямоугольника.
Для круга
Wz=πd332
тогда
d=332Wzπ=332⋅40,7π=7,46 см
Площадь круга:
Fк=πd24=π⋅7,4624=43,67 см2
Для прямоугольника Wz=bh26=b(3b)26=1,5b3, поэтому
b=3Wz1,5=340,71,5=3 см
Определим площадь:
Fп=bh=3b2=27 см2
Из четырех сечений наиболее выгодным является двутавр (Wz = 39,7 см3, Fд = 12 см2, Iz=198 см4), как обладающий наименьшей площадью.
Определяем углы поворота сечений и прогибы.
Запишем обобщенную функцию изгибающего момента Мz и подставим ее в примерное дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Mz=0⟵1+RAx-l1-l2+qx-l1-l222⟵2-Px-l1-l2-l3-l4-l5+Mx-l1-l2-l3-l4-l50⟵3+RBx-l1-l2-l3-l4-l5-l6⟵4
Mz=0⟵1+RAx-1,76+qx-1,7622⟵2-Px-4,08+Mx-4,080⟵3+RBx-5,84⟵4
d2ydx2=1EIz0⟵1+RAx-1,76+qx-1,7622⟵2-Px-3,08+Mx-3,080⟵3+RBx-4,84⟵4
Последнее выражение проинтегрируем дважды без раскрытия скобок:
dydx=θ=1EIzC+0⟵1+RAx-1,7622+qx-1,7636⟵2-Px-3,0822+Mx-3,08⟵3+RBx-4,8422⟵4
y=1EIzCx+D+0⟵1+RAx-1,7636+qx-1,76424⟵2-Px-3,0836+Mx-3,0822⟵3+RBx-4,8436⟵4
Постоянные интегрирования C и D найдем из граничных условий:
при х = 1,76; у = 0 (шарнирно-подвижная опора в начале 2-го участка) и при х = 4,84; у = 0 (шарнирно-подвижная опора в начале 4-го участка)
Cx+D=0;Cx+D+RAx-1,7636+qx-1,76424-Px-3,0836+Mx-3,0822=0
C⋅1,76+D=0;C⋅4,84+D+-6,43⋅4,84-1,7636+1,54,84-1,76424-3⋅4,84-3,0836+20⋅4,84-3,0822=0;
C⋅1,76+D=0;C⋅4,84+D=-2,563;
-1,75D=-2,563;D=1,465;
C⋅1,76+1,465=0;C=-0,832
Для первого участка (0≤x<1,76 м)
θ=1EIz⋅C;θ=-0,832EIzx=0;θ=-0,832EIz (x=1,76 м);
y=1EIzCx+D;
y=1EIz⋅D=1,465EIz x=0;
y=1EIzCx+D=1EIz-0,832⋅1,76+1,465=0 (x=1,76 м)
Для второго участка (1,76≤x<3,08 м)
θ=1EIzC+RAx-1,7622+qx-1,7636;
θ=1EIz⋅C=-0,832EIz x=1,76 м;
θ=1EIz-0,832+-6,433,08-1,7622+1,53,08-1,7636=-5,86EIz (x=3,08 м);
y=1EIzCx+D+RAx-1,7636+qx-1,76424;
y=1EIz-0,832⋅1,76+1,465=0 (x=1,76 м)
y=1EIz-0,832⋅3,08+1,465+-6,343,08-1,7636+1,53,08-1,76424=-3,34EIz (x=3,08 м)
Для третьего участка (3,08≤x<4,84 м)
θ=1EIzC+RAx-1,7622+qx-1,7636-Px-3,0822+Mx-3,08;
θ=1EIz-0,832+-6,433,08-1,7622+1,53,08-1,7636=-5,86EIz (x=3,08 м);
θ=1EIz-0,832+-6,434,84-1,7622+1,54,84-1,7636-34,84-3,0822+204,84-3,08=6,52EIz (x=4,84 м);
y=1EIzCx+D+RAx-1,7636+qx-1,76424-Px-3,0836+Mx-3,0822;
y=1EIz-0,832⋅3,08+1,465+-6,343,08-1,7636+1,53,08-1,76424=-3,34EIz (x=3,08 м)
y=1EIz-2,036⋅4,84+3,584+-6,344,84-1,7636+1,54,84-1,76424-34,84-3,0836+20⋅4,84-3,0822=0 (x=4,84 м)
Для четвертого участка (4,84≤x<6,49 м)
θ=1EIzC+RAx-1,7622+qx-1,7636-Px-3,0822+Mx-3,08+RBx-4,8422;
θ=1EIz-0,832+-6,434,84-1,7622+1,54,84-1,7636-34,84-3,0822+204,84-3,08+2,334,84-4,8422=6,52EIz x=4,84 м;
θ=1EIz-0,832+-6,436,49-1,7622+1,56,49-1,7636-36,49-3,0822+206,49-3,08+2,336,49-4,8422=7,62EIz (x=6,49 м);
y=1EIzCx+D+RAx-1,7636+qx-1,76424-Px-3,0836+Mx-3,0822+RBx-4,8436;
y=1EIz-0,832+-6,434,84-1,7636+1,54,84-1,76424-34,84-3,0836+204,84-3,0822+2,334,84-4,8436=0 x=4,84 м;
y=1EIz-0,832+-6,436,49-1,7636+1,56,49-1,76424-36,49-3,0836+206,49-3,0822+2,336,49-4,8436=12,14EIz (x=6,49 м);