Дана балка на двух опорах на которую действуют равномерно распределенная нагрузка

Определяем реакции в опорах.
MAi=0,
-M+q⋅0,5122-P⋅0,51+RB⋅0,6=0
RB=M-q⋅0,5122+P⋅0,510,6=18-1,9⋅0,5122+3,8⋅0,510,6=32,82 кН
MBi=0,
-RA⋅0,6-M-q⋅0,510,09+0,512+P⋅0,09=0
RA=-M-q⋅0,510,09+0,512+P⋅0,090,6=
=-18-1,9⋅0,510,09+0,512+3,8⋅0,090,6=-29,99 кН
Проверка:
Pyi=0RA-P-q⋅0,51+RB=0-29,99-3,8+1,9⋅0,51+32,82=0;0≡0,
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1<0,3 м
Qy1=RA+qx1=-29,99+1,9x1
Qy1=-29,99 кН x1=0;Qy1=-29,99+1,9⋅0,3=-29,42 кН (x1=0,3 м);
Mz1=RAx1+qx122; Mz1=0 x1=0;Mz1=-29,99⋅0,3+1,9⋅0,322=-8,91 кН⋅м x1=0,3 м
2-й участок 0≤x2<0,21м
Qy2=RA+q(0,3+x2)
Qy2=-29,99+1,9⋅0,3=-29,42 кН x2=0;
Qy2=-29,99+1,9⋅0,3+0,21=-29,02 кН x2=0,08 м;
Mz2=RA0,3+x2+q0,3+x222+M;
Mz2=-29,99⋅0,3+1,9⋅0,322+18=9,09 кН⋅м x2=0;
Mz2=-29,99⋅(0,3+0,21)+1,9⋅(0,3+0,21)22+18=2,95 кН⋅м x2=0,21 м;
3-й участок 0≤x3<0,09
Qy3=RA+q0,3+0,21-P
Qy3=-29,99+1,9⋅0,3+0,21-3,8=-32,82 кН;
Mz3=RA0,51+x3+q0,51+x3222+M;
Mz3=-29,99⋅0,51+1,9⋅0,5122+18=2,95 кН⋅м x3=0;
Mz3=-29,99⋅0,6+1,9⋅0,622+18=0 x3=0,6 м;
4-й участок 0≤x4<1,05 м
Qy4=0;
Mz4=0;
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок П2.1).
Составляем условие прочности.
σmax=Mz maxWz≤σ,
Так как Mz max=9,09 кН⋅м, то
Wz≥9,09⋅103295⋅106=30,8⋅10-6 м3=30,8 см3
По справочным данным стали прокатной подбираем:
Двутавр № 10 (Wz= 39,7 см3, Fд= 12 см2);
Швеллер № 10 (Wz= 34,8 см3, Fш= 10,9 см2).
Подбираем размеры круга и прямоугольника.
Для круга
Wz=πd332
тогда
d=332Wzπ=332⋅30,8π=6,79 см
Площадь круга:
Fк=πd24=π⋅6,7924=36,26 см2
Для прямоугольника Wz=b(2,4b)26=0,96b3, поэтому
b=3Wz0,96=330,80,96=3,18 см
Определим площадь:
Fп=bh=2,4b2=24,2 см2
Из четырех сечений наиболее выгодным является швеллер (Wz = 34,8 см3, Fд = 10,9 см2), как обладающий наименьшей площадью.
Определяем углы поворота сечений и прогибы.
Запишем обобщенную функцию изгибающего момента Мz и подставим ее в примерное дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Mz=RAx+qx22⟵1+Mx-0,510⟵2-Px-0,51-q(x-0,51)22⟵3+RB(x-0,6)⟵4
d2ydx2=1EIzRAx+qx22⟵1+Mx-0,30⟵2-Px-0,51-q(x-0,51)22⟵3+RB(x-0,6)⟵4
Последнее выражение проинтегрируем дважды без раскрытия скобок:
dydx=θ=1EIzC+RAx22+qx36⟵1+Mx-0,51⟵2-Px-0,5122-q(x-0,51)36⟵3+RBx-0,622⟵4
y=1EIzCx+D+RAx36+qx424⟵1+Mx-0,322⟵2-Px-0,5136-q(x-0,51)424⟵3+RBx-0,636⟵4
Постоянные интегрирования C и D найдем из граничных условий:
при х =0; у = 0 (шарнирно-подвижная опора в начале 1-го участка) и при х = 0,6 м; у = 0 (шарнирно-неподвижная опора в начале 4-го участка)
Cx+D=0;Cx+D+RAx36+qx424⟵1+Mx-0,322⟵2-Px-0,5136-q(x-0,51)424⟵3=0
C⋅0+D=0;Cx+D+-29,99⋅0,636+1,9⋅0,6424+180,6-0,322-3,80,6-0,5136-1,9(0,6-0,51)424=0
D=0;
C=0,433;
Для первого участка (0≤x<0,3 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22+qx36;
θ=CEIz=0,43EIz x=0;
θ=1EIz⋅0,43-29,99⋅0,322+1,9⋅0,336=-0,91EIz (x=0,3 м);
y=1EIzCx+D+RAx36+qx424;
y=1EIz⋅D=0EIz=0 x=0;
y=1EIz0,43⋅0,3-29,99⋅0,336+1,9⋅0,3424=-0,004EIz (x=0,3 м)
Для второго участка (0,3≤x<0,51 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22+qx36+Mx-0,3;
θ=1EIz⋅0,43-29,99⋅0,322+1,9⋅0,336=-0,91EIz (x=0,3 м);
θ=1EIz⋅0,43-29,99⋅0,5122+1,9⋅0,5136+18⋅(0,51-0,3)=0,35EIz (x=0,51 м);
y=1EIzCx+D+RAx36+qx424-Mx-0,322;
y=1EIz0,43⋅0,3-29,99⋅0,336+1,9⋅0,3424=-0,004EIz (x=0,3 м)
y=1EIz0,43⋅0,51-29,99⋅0,5136+1,9⋅0,51424+180,51-0,322=-0,04EIz (x=0,51 м)
Для третьего участка (0,51≤x<0,6 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22+qx36+Mx-0,3-Px-0,5122-q(x-0,51)36;
θ=1EIz⋅0,43-29,99⋅0,5122+1,9⋅0,5136+18⋅(0,51-0,3)=0,35EIz (x=0,51 м);
θ=1EIz⋅0,43-29,99⋅0,622+1,9⋅0,636+18⋅(0,6-0,3)-3,80,6-0,5122-1,9(0,6-0,51)36=0,5EIz (x=0,6 м);
y=1EIzCx+D+RAx36+qx424+Mx-0,322-Px-0,5136-q(x-0,51)424;
y=1EIz0,43⋅0,51-29,99⋅0,5136+1,9⋅0,51424+180,51-0,322=-0,83EIz (x=-0,04 м)
y=1EIz0,43⋅0,6-29,99⋅0,636+1,9⋅0,6424+180,6-0,322-3,80,6-0,5136-1,9(0,6-0,51)424=0 (x=0,6 м)
Для четвертого участка (0,6≤x<1,65 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22+qx36+Mx-0,3-Px-0,5122-q(x-0,51)36+RBx-0,622;
θ=1EIz⋅3,13-29,99⋅0,622+1,9⋅0,636+18⋅(0,6-0,3)-3,80,6-0,5122-1,9(0,6-0,51)36=0,51EIz (x=0,6 м);
θ=1EIz⋅0,43-29,99⋅1,6522+1,9⋅1,6536+18⋅1,65-0,3-3,81,65-0,5122-1,9(1,65-0,51)36+32,821,65-0,622=0,49EIz (x=1,65 м);
y=1EIzCx+D+RAx36+qx424+Mx-0,322-Px-0,5136-q(x-0,51)424+RBx-0,636;
y=1EIz0,43⋅0,6-29,99⋅0,636+1,9⋅0,6424+180,6-0,322-3,80,6-0,5136-1,9(0,6-0,51)424=0 (x=0,6 м)
y=1EIz0,43⋅1,65-29,99⋅1,6536+1,9⋅1,65424+181,65-0,322-3,81,65-0,5136-1,9(1,65-0,51)424+32,821,65-0,636=0,51EIz (x=1,65 м)