Дана балка на двух опорах, на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка q = 1,2 кН/м (3-6 вниз), сосредоточенная сила Р = 2,2 кН (4 вниз), и момент М = 26 кН⋅м (3 против ЧС) (рисунок П2.1). Длина участков l1 = 0,8 м, l2 = 0,9⋅0,8 = 0,72 м, l3 = 0,8⋅0,8 = 0,64 м, l4 = 0,5⋅0,8 = 0,4 м, l5 = 0,1⋅0,8 = 0,08 м, l6 = 1,3⋅0,8 = 1,04 м, l7 = 1,8⋅0,8 = 1,44 м. Соотношение размеров прямоугольного сечения h/b = 5,0. Механические характеристики материала (Ст 50): [σ] = 340 МПа, Е = 2∙105 МПа.
Требуется:
Определить опорные реакции.
Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
Из условия прочности подобрать номера швеллера и двутавра, а также определить диаметр круга и размеры прямоугольника.
Выбрать профиль балки с наименьшей площадью поперечного сечения.
Для выбранной балки составить примерное дифференциальное уравнение упругой линии, построить эпюры углов поворота сечений и прогибов.
Решение
Определяем реакции в опорах.
MAi=0,
M-q⋅1,121,52+1,122-P1,52+0,64+RB1,52+0,64+0,48+1,04=0
RB=-26+1,2⋅1,121,52+1,122+2,21,52+0,643,68=-5,02 кН
MBi=0,
-RA⋅3,68+M+q⋅1,121,04+1,122-P·1,52=0
RA=M+q⋅1,121,04+1,122-P·1,523,68=
=26+1,2⋅1,121,04+1,122-2,2·1,523,68=8,56 кН
Проверка:
Pyi=0RA-P-q·1,12+RB=08,56-2,2-1,2⋅1,12-5,02=0;0≡0,
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1<1,52 м
Qy1=RA=8,56 кН;
Mz1=RAx1; Mz1=0 x1=0;Mz1=8,56·1,52=13,01 кН⋅м x1=1,52 м
2-й участок 0≤x2<0,64 м
Qy2=RA-qx2
Qy2=RA=8,56 кН x2=0;
Qy2=RA-q·0,64=8,56-1,2⋅0,64=7,79 кН x2=0,64 м;
Mz2=RA·(1,52+x2)-qx21,52+x22-M;
Mz2=RA·1,52+x2-M=8,56·1,52-26=-12,99 кН⋅м x2=0;
Mz2=RA·1,52+x2-qx21,52+x22-M=8,56·2,16-26-1,2·0,64·1,52+0,642-26=-7,76 кН⋅м (x2=0,64 м)
3-й участок 0≤x3<0,48 м
Qy3=RA-q(0,64+x3)-P;
Qy3=RA-q·0,64-P=8,56-1,2·0,64=5,59 кН x3=0;
Qy3=RA-q·1,12-P=8,56-1,2·1,12=5,01 кН;x3=0,48 м
Mz3=RA·2,16+x3-q·0,64·2,162-q·x32,16+x32-M-Px3;
Mz3=RA·2,16-q·0,64·2,162-M=8,56·2,16-1,2·0,64·2,162-26=-7,76 кН⋅м x3=0;
Mz3=RA·2,16+x3-q·0,64·2,162-q·x32,16+x32-M-Px3=-5,21 кН⋅м x3=0,48 м
4-й участок 0≤x4<1,04 м
Qy4=RA-q·1,12-P=8,56-1,2·1,12=5,01 кН;
Mz4=RA·2,64+x4-q·1,12·1,52+1,122-M-P(0,48+x4);
Mz4=RA·2,64-q·1,12·1,52+1,122-M-P·0,48=-5,21 кН⋅м (x4=0);
Mz4=RA·3,68-q·1,12·1,52+1,122-M-P·1,52=0 (x4=1,04 м);
5-й участок 0≤x5<1,44 м
Qy5=0;Mz5=0
.
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок П2.1).
Составляем условие прочности.
σmax=Mz maxWz≤σ,
Так как Mz max=13,01 кН⋅м, то
Wz≥13,01⋅103340⋅106=38,2⋅10-6 м3=38,2 см3
По справочным данным стали прокатной подбираем:
Двутавр № 10 (Wz= 39,7 см3, Fд= 12 см2);
Швеллер № 12 (Wz= 50,6 см3, Fш= 13,3 см2).
Подбираем размеры круга и прямоугольника.
Для круга
Wz=πd332
тогда
d=332Wzπ=332⋅38,2π=7,3 см
Площадь круга:
Fк=πd24=π⋅7,324=41,86 см2
Для прямоугольника Wz=bh36=b·5b36=20,83b3, поэтому
b=3Wz20,83=341,8620,83=2,01 см
Определим площадь:
Fп=bh=5b2=20,2 см2
Из четырех сечений наиболее выгодным является двутавр (Wz= 39,7 см3, Fд= 12, Iz=198 см4), как обладающий наименьшей площадью.
Определяем углы поворота сечений и прогибы.
Запишем обобщенную функцию изгибающего момента Мz и подставим ее в примерное дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Mz=RAx⟵1-Mx-1,520-qx-1,5222⟵2-Px-2,16⟵3+qx-2,6422⟵4+RB(x-3,68)⟵5
d2ydx2=1EIzRAx⟵1-Mx-1,520-qx-1,5222⟵2-Px-2,16⟵3+qx-2,6422⟵4+RB(x-3,68)⟵5
Последнее выражение проинтегрируем дважды без раскрытия скобок:
dydx=θ=1EIzC+RAx22⟵1-Mx-1,52-qx-1,5236⟵2-Px-2,1622⟵3+qx-2,6436⟵4+RBx-3,6822⟵5
y=1EIzCx+D+RAx36⟵1-Mx-1,5222-qx-1,52424⟵2-Px-2,1636⟵3+qx-2,64424⟵4+RBx-3,6836⟵5
Постоянные интегрирования C и D найдем из граничных условий:
при х =0; у = 0 (шарнирно-подвижная опора в начале 1-го участка) и при х = 3,68 м; у = 0 (шарнирно-неподвижная опора в начале 5-го участка)
Cx+D=0;Cx+D+RAx36⟵1-Mx-1,5222-qx-1,52424⟵2-Px-2,1636⟵3+qx-2,64424⟵4=0
C·0+D=0;C·3,58+D+8,56·3,5836-263,58-1,5222-1,23,58-1,52424-2,23,58-2,1636+1,23,58-2,64424=0
D=0;
C=-2,341;
Для первого участка (0≤x<1,52 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22;θ=CEIz=-2,34 x=0;θ=1EIz⋅-2,34+8,56⋅1,5222=7,55EIz (x=1,52 м);
y=1EIzCx+D+RAx36;
y=1EIz⋅D=0EIz=0 x=0;
y=1EIz-2,34·1,52+8,56⋅1,5236=1,45EIz (x=1,52 м)
Для второго участка (1,52≤x<2,16 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-M(x-1,52)-qx-1,5236;
θ=1EIz⋅-2,34+8,56⋅1,5222=7,55EIz (x=1,52 м);
θ=1EIz⋅-2,34+8,56⋅2,1622-26(2,16-1,52)-1,22,16-1,5236=0,94EIz (x=2,16 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx-1,5222-qx-1,52424;
y=1EIz-2,34·1,52+8,56⋅1,5236=1,45EIz (x=1,52 м)
y=1EIz-2,34·2,16+8,56⋅2,1636-262,16-1,5222-1,22,16-1,52424=3,99EIz (x=2,16 м)
Для третьего участка (2,16≤x<2,64 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-Mx-1,52-qx-1,5236-Px-2,1622;
θ=1EIz⋅-2,34+8,56⋅2,1622-26(2,16-1,52)-1,22,16-1,5236=0,94EIz (x=2,16 м);
θ=1EIz⋅-2,34+8,56⋅2,6422-26(2,64-1,52)-1,22,64-1,5236-2,22,64-2,1622=-2,2EIz (x=2,64 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx-1,5222-qx-1,52424-Px-2,1636;
y=1EIz-2,34·2,16+8,56⋅2,1636-262,16-1,5222-1,22,16-1,52424=3,99EIz (x=2,16 м)
y=1EIz-2,34·2,64+8,56⋅2,6436-262,64-1,5222-1,22,64-1,52424-2,22,64-2,1636=3,64EIz (x=2,64 м)
Для четвертого участка (2,64≤x<3,68 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-Mx-1,52-qx-1,5236-Px-2,1622+qx-2,6436;
θ=1EIz⋅-2,34+8,56⋅2,6422-26(2,64-1,52)-1,22,64-1,5236-2,22,64-2,1622=-2,2EIz (x=2,64 м);
θ=1EIz⋅-2,34+8,56⋅3,6822-263,68-1,52-1,23,68-1,5236-2,23,68-2,1622+1,23,68-2,6436=-4,97EIz (x=3,68 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx-1,5222-qx-1,52424-Px-2,1636+qx-2,64424;
y=1EIz-2,34·2,64+8,56⋅2,6436-262,64-1,5222-1,22,64-1,52424-2,22,64-2,1636=3,64EIz (x=2,64 м)
y=1EIz-2,34·3,68+8,56⋅3,6836-263,68-1,5222-1,23,68-1,52424-2,23,68-2,1636+1,23,58-2,64424=0 (x=3,68 м)
Для пятого участка (3,68≤x<5,12 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-Mx-1,52-qx-1,5236-Px-2,1622+qx-2,6436+RBx-3,6822;
θ=1EIz⋅-2,34+8,56⋅3,6822-263,68-1,52-1,23,68-1,5236-2,23,68-2,1622+1,23,68-2,6436=-4,97EIz (x=3,68 м);
θ=1EIz⋅-2,34+8,56⋅5,1222-265,12-1,52-1,25,12-1,5236-2,25,12-2,1622+1,25,12-2,6436=-4,97EIz (x=5,12 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx-1,5222-qx-1,52424-Px-2,1636+qx-2,64424+RBx-3,6836;
y=1EIz2,34·3,68+8,56⋅3,6836-263,68-1,5222-1,23,68-1,52424-2,23,68-2,1636+1,23,68-2,64424=0 (x=3,68 м)
y=1EIz2,34·5,12+8,56⋅5,1236-265,12-1,5222-1,25,12-1,52424-2,25,12-2,1636+1,25,12-2,64424+-5,025,12-3,6836=-6,4EIz (x=5,12 м)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
