Дана балка на двух опорах на которую действуют на которую действуют равномерно распределенная нагрузка

Определяем реакции в опорах.
MAi=0,
Pl1+M-ql3+l4+l5⋅l1+l2+l3+l4+l52+RBl1+l2+l3+l4+l5+l6=0
RB=- Pl1-M+ql3+l4+l5⋅l1+l2+l3+l4+l52l1+l2+l3+l4+l5+l6=
- 2,4⋅0,8-22+1,20,56+0,28+0,21⋅0,8+0,56+0,56+0,28+0,2120,8+0,56+0,56+0,28+0,21+0,91=-6,49 кН
MBi=0,
-RAl1+l2+l3+l4+l5+l6-Pl2+l3+l4+l5+l6+M+ql3+l4+l5⋅l6+l3+l4+l52=0
RA=-Pl2+l3+l4+l5+l6+M+ql3+l4+l5⋅l6+l3+l4+l52l1+l2+l3+l4+l5+l6=
-2,40,56+0,56+0,28+0,21+0,91+22+1,20,56+0,28+0,21⋅0,91+0,56+0,28+0,2120,8+0,56+0,56+0,28+0,21+0,91=5,35 кН
Проверка:
Pyi=0RA+P-ql3+l4+l5+RB=05,35+2,4-1,20,56+0,28+0,21-6,49=0;0≡0,
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1<l1
Qy1=RA=5,35 кН;
Mz1=RAx1; Mz1=0 x1=0;Mz1=RAl1=5,35⋅0,8=4,28 кН⋅м (x1
=l1)
2-й участок 0≤x2<l2
Qy2=RA+P=5,35+2,4=7,75 кН;
Mz2=RAl1+x2+Px2;
Mz2=RAl1=5,35⋅0,8=4,28 кН⋅м x2=0;
Mz2=RAl1+l2+Pl2=5,35⋅0,8+0,56+2,4⋅0,56=8,62 кН⋅м (x2
=l2)
3-й участок 0≤x3<l3+l4+l5
Qy3=RA+P-qx3;
Qy3=RA+P=5,35+2,4=7,75 кН;x3=0
Qy3=RA+P-qx3=5,35+2,4-1,2⋅0,56+0,28+0,21=6,49 кН;x3=l3+l4+l5
Mz3=RAl1+l2+x3+Pl2+x3-M-qx322;
Mz3=RAl1+l2+Pl2-M=5,35⋅0,8+0,56+2,4⋅0,56-22=-13,38 кН⋅м x3=0;
4-й участок 0≤x4<l6
Qy4=RA+P-ql3+l4+l5;
Qy4=RA+P=5,35+2,4-1,2⋅0,56+0,28+0,21=6,49 кН;
Mz4=RAl1+l2+l3+l4+l5+x4+Pl2+l3+l4+l5+x4-M-q⋅l3+l4+l5⋅l3+l4+l52+x4;
Mz4=RAl1+l2+l3+l4+l5+Pl2+l3+l4+l5-M-q⋅l3+l4+l522=5,35⋅0,8+0,56+0,56+0,28+0,21+2,4⋅0,56+0,56+0,28+0,21-22-1,2⋅0,56+0,28+0,2122=-5,97 кН⋅м (x4
=0)
Mz4=RAl1+l2+l3+l4+l5+l6+Pl2+l3+l4+l5+l6-M-q⋅l3+l4+l5⋅l3+l4+l52+l6=5,35⋅0,8+0,56+0,56+0,28+0,21+0,91+2,4⋅0,56+0,56+0,28+0,21+0,91-22-1,2⋅0,56+0,28+0,21⋅0,56+0,28+0,212+0,91=0 (x4=0,91)
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок П2.1).
Составляем условие прочности.
σmax=Mz maxWz≤σ,
Так как Mz max=13,38 кН⋅м, то
Wz≥13,38⋅103335⋅106=39,94⋅10-6м3=39,94 см3
По справочным данным стали прокатной подбираем:
Двутавр № 10 (Wz= 39,7 см3,Fд= 12 см2);
Швеллер № 12 (Wz= 50,6 см3,Fш= 13,3 см2).
Подбираем размеры круга и прямоугольника.
Для круга
Wz=πd332
тогда
d=332Wzπ=332⋅39,94π=7,41 см
Площадь круга:
Fк=πd24=π⋅7,4124=43,12 см2
Для прямоугольника Wz=bh26=b(1,8b)26=0,54b3, поэтому
b=3Wz0,54=339,940,54=4,19 см
Определим площадь:
Fп=bh=1,8b2=31,6 см
Из четырех сечений наиболее выгодным является двутавр № 10 (Wz=39,7 см3, Fш= 12 см2, Iz= 198 см4), как обладающий наименьшей площадью.
Определяем углы поворота сечений и прогибы.
Запишем обобщенную функцию изгибающего момента Мz и подставим ее в примерное дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Mz=RAx⟵1+Px-l1⟵2-Mx-l1-l20-qx-l1-l222⟵3-qx-l1-l222+qx-l1-l2-l3-l4-l522⟵4+RBx-l1-l2-l3-l4-l5-l6-qx-l1-l222+qx-l1-l2-l3-l4-l5-l622⟵5
Mz=RAx⟵1+Px-0,8⟵2-Mx-1,360-qx-1,3622⟵3+qx-2,4122⟵4+RB(x-3,32)+qx-3,3222⟵5
d2ydx2=1EIzRAx⟵1+Px-0,8⟵2-Mx-1,360-qx-1,3622⟵3+qx-2,4122⟵4+RB(x-3,32)+qx-3,3222⟵5
Последнее выражение проинтегрируем дважды без раскрытия скобок:
dydx=θ=1EIzC+RAx22⟵1+Px-0,822⟵2-Mx-1,36-qx-1,3636⟵3+qx-2,4136⟵4RBx-3,3222+qx-3,3236⟵5
y=1EIzCx+D+RAx36⟵1+Px-0,836⟵2-Mx-1,3622-qx-1,36424⟵3+qx-2,41424⟵4+RBx-3,3236+qx-3,32424⟵5
Постоянные интегрирования C и D найдем из граничных условий:
при х = 0; у = 0 (шарнирно-неподвижная опора в начале 1-го участка)
Cx+D+RAx36=0;
C⋅0+D+RA⋅036=0;откуда D=0;
при x=l1+l2+l3+l4+l5+l6=3,32 м
Cx+D+RAx36+Px-0,836-Mx-1,3622-qx-1,36424+qx-2,41424=0
C⋅3,32+0+5,35⋅3,3236+2,4⋅3,32-0,836-22⋅3,32-1,3622-1,2⋅3,32-1,36424+1,2⋅3,32-2,41424=0;
C=1,18
Для первого участка (0≤x<0,8 м)
θ=1EIzC+RAx22;θ=1,18EIzx=0;θ=1EIz1,18+5,35⋅0,822=2,89EIz (x=0,8 м);
y=1EIzCx+D+RAx36;y=1EIzRAx36=0 x=0;y=1EIz1,18⋅0,8+0+5,35⋅0,836=1,4EIz
Для второго участка (0,8≤x<1,36 м)
θ=C+RAx22+Px-0,822;θ=1,18+5,35⋅0,822+2,4⋅0,8-0,822=2,89EIz (x=0,8 м); θ=1,18+5,35⋅1,3622+2,4⋅1,36-0,822=6,51EIz (x=1,36 м);
y=Cx+D+RAx36+Px-0,836;y=1,18⋅0,8+5,35⋅0,836+2,4⋅0,8-0,836=1,4EIz x=0,8 м; y=1,18⋅1,36+5,35⋅1,3636+2,4⋅1,36-0,836=3,92EIz (x=1,36 м);
Для третьего участка (1,36≤x<2,41 м)
θ=C+RAx22+Px-0,822-Mx-1,36-qx-1,3636;θ=1,18+5,35⋅1,3622+2,4⋅1,36-0,822-221,36-1,36-1,2⋅1,36-1,3636=6,51EIz (x=1,36 м); θ=1,18+5,35⋅2,4122+2,4⋅2,41-0,822-222,41-1,36-1,2⋅2,41-1,3636=-3,5EIz (x=2,41 м);
y=Cx+D+RAx36+Px-0,836-Mx-1,3622-qx-1,36424;y=-0,96⋅1,36+5,35⋅1,3636+2,4⋅1,36-0,836-221,36-1,3622-1,2⋅1,36-1,36424=3,92EIz x=1,36 м; y=-0,96⋅2,41+5,35⋅2,4136+2,4⋅2,41-0,836-222,41-1,3622-1,2⋅2,41-1,36424=4,82EIz (x=2,41 м);
Для четвертого участка (2,41≤x<3,32 м)
θ=C+RAx22+Px-0,822-Mx-1,36-qx-1,3636+qx-2,4136;θ=1,18+5,35⋅2,4122+2,4⋅2,41-0,822-222,41-1,36-1,2⋅2,41-1,3636+1,22,41-2,4136=-3,5EIz (x=2,41 м); θ=1,18+5,35⋅3,3222+2,4⋅3,322-0,822-223,322-1,36-1,2⋅3,322-1,3636+1,23,322-2,4136=-6,19EIz (x=3,32 м);
y=Cx+D+RAx36+Px-0,836-Mx-1,3622-qx-1,36424+qx-2,41424;y=1,18⋅2,41+5,35⋅2,4136+2,4⋅2,41-0,836-222,41-1,3622-1,2⋅2,41-1,36424+1,22,41-2,41424=4,82EIz x=2,41 м;y=1,18⋅3,32+5,35⋅3,3236+2,4⋅3,32-0,836-223,32-1,3622-1,2⋅3,32-1,36424-1,2⋅3,32-1,36424+1,23,32-2,41424=0 x=3,32 м; ;
Для пятого участка (3,32≤x<4,58 м)
θ=C+RAx22+Px-0,822-Mx-1,36-qx-1,3636+qx-2,4136+RBx-3,3222+qx-3,3236;
θ=1,18+5,35⋅3,3222+2,4⋅3,32-0,822-223,32-1,36-1,2⋅3,32-1,3636+1,23,32-2,4136-6,493,32-3,3222+1,23,32-3,3236=-6,19EIz x=3,32 м;
θ=1,18+5,35⋅4,5822+2,4⋅4,58-0,822-224,58-1,36-1,2⋅4,58-1,3636+1,24,58-2,4136-6,494,58-3,3222+1,24,58-3,3236=-6,19EIz(x=4,58 м);
y=Cx+D+RAx36+Px-0,836-Mx-1,3622-qx-1,36424+qx-2,41424+RBx-3,3236+qx-3,32424;
y=1,18⋅3,32+5,35⋅3,3236+2,4⋅3,32-0,836-223,32-1,3622-1,2⋅3,32-1,36424+1,23,32-2,41424+2,4⋅3,32-0,836-6,493,32-3,3236+1,23,32-3,32424=0 x=3,32 м;y=1,18⋅4,58+5,35⋅4,5836+2,4⋅4,58-0,836-224,58-1,3622-1,2⋅4,58-1,36424-1,2⋅4,58-1,36424+1,24,58-2,41424-6,494,58-3,3236+1,24,58-3,32424=-7,67EIz x=4,58 м.