Особые точки линейной системы ДУ(два Уравнения, две переменных). Классификация, примеры и фазовые траектории

Любую двумерную линейную систему вида:
можно представить в матричном виде:
(1)
Получим характеристическое уравнение. Для этого решение системы (1) ищется в виде , . Последние соотношения подставляются в систему (1), в результате чего получается система линейных однородных алгебраических уравнений вида
Эта система имеет нетривиальное решение, только когда равен нулю определитель из коэффициентов при A и B:
.
Раскрывая определитель, мы получаем искомое характеристическое уравнение для определения значений i.

,(2)
где S – след матрицы , D – ее определитель.
Решение характеристического уравнения и анализ его корней.
Корни характеристического уравнения (2) равны
.
и могут быть:
а) Мнимыми (S=0, D0): – в этом случае особую точку называют центром.
Рисунок 1 – Фазовый портрет типа «центр» и зависимость от времени
На рисунке приведен пример фазовой траектории в этом случае и соответствующего ей решения уравнения (1). Стрелкой указано направление движения по фазовой траектории в положительном направлении оси t. Точками одинаковой интенсивности заполнения указаны значения абсциссы x(t) в точках одинаковой фазы на фазовой кривой и на решении

. Пример – гармонический осциллятор при = 0. При этом система (1) имеет вид
, .
Она может быть переписана в форме
.
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение в виде уравнения эллипса
.
б) Комплексно сопряженными (S2 4D) – в этом случае особую точку называют фокусом.
Пример – гармонический осциллятор при 0. При этом система (1) имеет вид
, .
Она может быть переписана в форме
.
После замены y= xz это уравнение переписывается в виде
.
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и при 2 02 имеет общее решение, которое после возвращения к исходным переменным имеет вид
.
Делая следующую упрощающую замену
, ,
последнее соотношение мы можем представить в форме
.
Наконец, после перехода к полярным координатам
u = cos, v = sin,
окончательно имеем уравнение спирали
.
При этом, если (S 0, D 0), Im[1;2]0 – устойчивым фокусом:
Рисунок 2 – Фазовый портрет типа «устойчивый фокус» и зависимость от времени
Устойчивый фокус при этом является простейшим примером аттрактора размерности d = 1 – множеством, к которому асимптотически притягиваются фазовые траектории.
Если (S 0, D 0), Im[1;2]0 – неустойчивым фокусом:
Рисунок 3 – Фазовый портрет типа «неустойчивый фокус» и зависимость от времени
в) Действительными и иметь один знак S2 4D – в этом случае особую точку называют узлом