В мастерскую по ремонту бытовой техники поступили 8 холодильников, из которых 3 подлежали гарантийному обслуживанию. Бригада специалистов, работающая в первую смену, получила наряд на ремонт 4 холодильников.
а) Составьте ряд распределения числа холодильников, отремонтированных по гарантии в первую смену; если холодильники для ремонта отбирались случайным образом, и постройте его график;
б) Найдите числовые характеристики этого распределения;
в) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;
г) Определите вероятность того, что по гарантии было отремонтировано не более двух холодильников.
Решение
Пусть случайная величина Х – число холодильников, отремонтированных по гарантии в первую смену.
Случайная величина Х может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3.
Очевидно, что ремонт холодильников - бесповторный. Следовательно, испытания - зависимые. Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина – отремонтированные холодильники по гарантии в первую смену - подчиняется гипергеометрическому закону распределения.
PnХ=m=CMm∙CN-Mn-mCNn
где CNn - общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов, CMm∙CN-Mn-m - число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события; m≤n, если n M и m M, если M<n.
а) Составим ряд распределения
.
Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений и запишем полученные результаты в таблицу.
По условию задачи N =8; M = 3; n = 4; m = 0, 1, 2, 3.
P4Х=0=C30∙C8-34-0C84=3!0!∙3-0!∙5!4!∙5-4!8!4!∙8-4!=570=0,0714
P4Х=1=C31∙C8-34-1C84=3!1!∙3-1!∙5!3!∙5-3!8!4!∙8-4!=3∙1070=37=0,4286
P4Х=2=C32∙C8-34-2C84=3!2!∙3-2!∙5!2!∙5-2!8!4!∙8-4!=3∙1070=37=0,4286
P4Х=3=C33∙C8-34-3C84=3!3!∙3-3!∙5!1!∙5-1!8!4!∙8-4!=1∙570=114=0,0714
Ряд распределения числа холодильников, отремонтированных по гарантии в первую смену:
Х 0 1 2 3
Р
0,0714 0,4286 0,4286 0,0714
Проверка: 0,0714+0,4286+0,4286+0,0714=1
График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины - полигон распределения вероятностей
б) Найдем числовые характеристики этого распределения.
Математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся гипергеометрическому распределению, может быть рассчитано по формуле:
MX=m=n∙MN=4∙38=1.5
Дисперсию случайной величины Х вычислим по формуле:
DX=m=n∙MN∙1-MN∙1-n-1N-1=4∙38∙1-38∙1-4-18-1=
=1.5∙0.625∙0.5714=0.5357
Среднее квадратическое отклонение равно
σ=0,5357≈0,7319
в) Функция распределения вероятностей
Fx=0, при x≤00+0,0714, при 03
Тогда
Fx=0, при x≤00,0714, при 03
График
г) Вероятность того, что по гарантии было отремонтировано не более двух холодильников равна (было отремонтировано 2, или 1, или 0 холодильников):
РХ≤2=РХ=0+РХ=1+РХ=2=0,0714+0,4286+0,4286=
=0,9286
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
