Используя полученные на предыдущем этапе точки построить аппроксимирующие полиномы второго порядка y=a2x2+a1x+a0 методом наименьших квадратов при всех одинаковых весовых коэффициентах и при весовом коэффициенте в третьей точке в 3 раза большем, чем в остальных (т.е. при β3=3). Получить среднеквадратичную погрешность аппроксимации, величину квадратичного критерия близости и расчетное значение y в третьей точке. Сравнить полученные результаты. Сделать выводы о том, устраивает ли полученное аппроксимирующее уравнение второго порядка по погрешности, сравнивая среднеквадратичную погрешность с заданной погрешностью в обоих случаях, т.е. и при всех одинаковых весовых коэффициентах, и при β3=3. Если результат не устраивает, то наметить путь, что делать в таком случае дальше. Также проанализировать, как повлияло введение весового коэффициента β3=3 на точность аппроксимации в третьей точке (по величине абсолютной погрешности в этой точке) и на точность аппроксимации в целом, (по величине критерия близости).
Решение
Пусть некоторая функция задана таблицей своих значений в виде набора чисел xi,yi,i=0,1,…,n и требуется построить аппроксимирующую функцию вида Pmx=c0+c1x+…+cmxm, где m≤n.
Метод построения аппроксимирующей функции Pmx, при котором величина Q=i=0nPmxi-yi2 минимальна, называется методом наименьших квадратов.
Неизвестные коэффициенты c0,c1,…,cm могут быть найдены из решения системы m+1 линейного алгебраического уравнения с m+1 неизвестными вида (при равных весовых коэффициентах):
n+1c0+c1ixi+c2ixi2+…+cmixim=iyic0ixi+c1ixi2+c2ixi3+…+cmixim+1=ixiyi…c0ixim+c1ixim+1+c2ixim+2+…+cmixi2m=iximyi
При наличии вектора различных весовых коэффициентов β искомая системы приобретает вид:
n+1c0iβixi+c1iβixi+c2iβixi2+…+cmiβixim=iβiyic0iβixi+c1iβixi2+c2iβixi3+…+cmiβixim+1=iβixiyi…c0iβixim+c1iβixim+1+c2iβixim+2+…+cmiβixi2m=iβiximyi
Исходные данные:
Номер узла 0 1 2 3 4
x
-4 -3,2 -2 -0,7 0,8
fx
0,0544 -7,4799 -9,7318 5,4573 0,7330
1) Равные весовые коэффициенты
Поскольку используем полином второго порядка, то искомая система уравнений приобретает вид:
n+1c0+c1ixi+c2ixi2=iyic0ixi+c1ixi2+c2ixi3=ixiyic0ixi2+c1ixi3+c2ixi4=ixi2yi
Вычисляем требуемые значения:
n+1=5
ixi=-9,1
ixi2=31,37
ixi3=-104,599
ixi4=377,5073
iyi=-10,967
ixiyi=39,34797
ixi2yi=-111,507779
И получаем систему:
5c0-9,1c1+31,37c2=-10,967-9,1c0+31,37c1-104,599c2=39,3479731,37c0-104,599c1+377,5073c2=-111,507779
Решая которую находим вектор коэффициентов:
C≈-0,0663,7790,757
Т.е
. аппроксимирующая кривая:
y=0,757x2+3,779x-0,066
Сводная таблица значений:
Номер узла 1 2 3 4 5
x
-4 -3,2 -2 -0,7 0,8
fx
0,0544 -7,4799 -9,7318 5,4573 0,7330
yx
-3,0668 -4,4054 -4,5957 -2,3407 3,4417
Вычисляем квадратичный критерий близости:
R=ifxi-yxi2=
=0,0544+3,06682+-7,4799+4,40542+-9,7318+4,59572+5,4573+2,34072+0,7330-3,44172≈113,721
Среднеквадратическая погрешность аппроксимации:
δ=113,7215≈4,769
Погрешность в третьей точке:
∆=fx-yx=-9,7318+4,5957=5,1361
2) Весовой коэффициенте в третьей точке в 3 раза большем, чем в остальных
Записываем вектор весовых коэффициентов:
β=11311
Система уравнений для полинома второго порядка:
n+1c0+c1iβixi+c2iβixi2=iβiyic0iβixi+c1iβixi2+c2iβixi3=iβixiyic0iβixi2+c1iβixi3+c2iβixi4=iβixi2yi
Вычисляем требуемые значения:
n+1=5
iβixi=-13,1
iβixi2=39,37
iβixi3=-120,599
iβixi4=409,5073
iβiyi=-30,4306
iβixiyi=78,87517
iβixi2yi=-189,362179
И получаем систему:
5c0-13,1c1+39,37c2=-30,4306-13,1c0+39,37c1-120,599c2=78,8751739,37c0-120,599c1+409,5073c2=-189,362179
Решая которую находим вектор коэффициентов:
C=-5,1014,0031,207
Т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
