Вычисление координат спутника в земной системе с учетом возмущений от сжатия Земли
Постановка задачи
Если Землю и вращающийся вокруг ее спутник считать материальными точками, то под действием сил взаимного притяжения и при отсутствии других сил (от притяжения небесных тел, сопротивления атмосферы и т.п.) спутник будет двигаться по невозмущенной орбите. Теория такого движения рассматривается в небесной механике как задача двух тел. Невозмущенное движение спутника происходит в соответствии с законами Кеплера по орбите, у которой размеры, форма и ориентировка в пространстве остаются постоянными.
Реальное движение спутника происходит под постоянным воздействием на него различных сил, из которых наибольшее влияние оказывает сжатие Земли. Эти дополнительные к силе притяжения шаровой Земли силы называют возмущающими силами, а происходящие в орбите изменения - возмущениями. Применяемый при изучении возмущенного движения принцип Лагранжа заключается в том, что движение рассматривают происходящим по кеплеровой орбите с постоянно изменяющимися элементами. В каждый момент времени можно определить невозмущенную орбиту, совпадающую с моментальной возмущенной орбитой. Такие орбиты называют оскулирующими в некоторую эпоху t .
Необходимо по элементам орбиты, данным на начальную эпоху t0 , найти элементы оскулирующей орбиты на эпоху t с учетом возмущений от сжатия Земли. По ним предстоит рассчитать прямоугольные координаты x, y, z в небесной (инерциальной) системе, от которых затем перейти к земной системе координат.
Исходные данные
Элементы орбиты: a – большая полуось, e – эксцентриситет, i – наклонение, Ω – долгота восходящего узла, ω – аргумент перигея, M0 – средняя аномалия в эпоху t0.
Рисунок 1. Орбита в пространстве
Рисунок 2. Орбита в плоскости
Таблица 1. Элементы оскулирующей орбиты
№ варианта a, (км) e i Ω ω М0
10 10706.57+0
=10706.57 0.1619889 77°26'06,1'' 13°50'00,4'' 37°07'29,8'' 92°26'40,4''
Таблица 2. Дополнительная информация для вычислений
№ варианта Начальная эпоха t0 Эпоха эфемерид t
Дата d1 Время S1 Дата d2 Время UTC2 Время S0 xp yp
10 1 0h34m21.031s 2 12h18m05.924s+0m
=12h18m05.924s 0h10m57.306s 0.104 -0.088
Числовые данные для решения:
- большая полуось общеземного эллипсоида aE = 6378137 м,
- коэффициент второй зональной гармоники C20=1.08263·10-3,
-геоцентрическая гравитационная постоянная GM = 398600.5 км3с-2 .
Нужно полное решение этой работы?
Решение
1. Вычисление момента S2, на который необходимо рассчитать эфемериду спутника, по формуле:
S2=S0+(1+μ)·UTС2
где всемирное время UTC2 и звездное время в Гриническую полночь S0 выбираются из таблицы 2. Коэффициент служит для преобразования единиц среднего солнечного времени в звездное: =0.0027379035.
S0
0h10m57,306s
UTС2
12h18m05,924s
UTС2∙μ
0h02m01,251s
S2
12h31m04,481s
2. Расчет периода обращения спутника P.
Величина среднего движения:
n=GM/a3
n=398600.5/10706.573=0.000569893 рад/с=0.032652468 °/с=117.5488843 °/час
Период обращения спутника
P=2π/n
P=2∙3,1415926/0.000569893=11025.20034s=183.7533391m=3.062555651h=3h03m45,200s
3. Определение возмущения в долготе восходящего узла орбиты, аргументе перигея и начальном значении средней аномалии за один оборот.
Фокальный параметр связан с большой полуосью и эксцентриситетом орбиты:
p=a∙(1-e2)
p=10706.57∙1-0.16198892=10425.62528 км
Дополнительные расчеты
С20∙аЕp2=0.00108263·(6378137/10425.62528)2=0.000405194
Вековые возмущения в долготе
δΩ=540°∙С20∙аЕp2∙cosi
δΩ=540°∙0.000405194∙cos7726’06.1=0.047600282°
Вековые возмущения в аргументе перигея
δω=-270°∙С20∙аЕp2∙(1-5∙sin2i)
δω=-270°∙0.000405194∙(1-5∙sin27726’06.1)=0.411721844°
Начальное значение средней аномалии
δМ0=-270°∙С20∙аЕp2∙(3∙cos2i-1)1-e2
δМ0=-270°∙0.000405194∙(3∙cos27726’06.1-1)1-0.16198892=0.095125961°
4
. Определим число оборотов N, совершенных спутником от эпохи t0=(d1, S1) до эпохи t=(d2, S2):
N=t-t0hPh=24∙d2-d1+(S2-S1)Ph
24·d2-d1
24·(2-1)=24
S2
12h31m04,481s
-S1
0h34m21.031s
S2
35h56m43,450s
t-t0h
35.94540266
Ph
3.062555651
N 11.73706106
5. Составим систему возмущенных элементов:
a=a0=10706.57
e=e0=0.1619889
i=i0=7726’06.1
Ω0 13°50'00,4'' ω0 37°07'29,8'' M0 92°26'40,4''
δΩ·N 0°33'31,3'' δω·N 4°49'56,7'' δM·N 1°06'59,4''
Ω 14°23'31,7'' ω 41°57'26,5'' M 93°33'39,8''
6. Получим среднюю аномалию M на эпоху t:
М=М0+n∙t-t0
M0 93°33'39,8'' M0 93°33'39,8''
n∙t-t0
4225°20'31,1'' 360·N 4225°20'31,1''
M 358°54'10,9'' M 358°54'10,9''
7
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
