Расчеты на прочность и жесткость при ударе
На заданную на рисунке 2 конструкцию с высоты h падает груз P. Проверить прочность конструкции и определить прогиб в сечении С, по которому производится удар. Известны размеры конструкции а и характеристики сечения Iy, Wy , величина падающего груза P, модуль упругости E, расчетное сопротивление материала R.
Коэффициент динамичности находить по приближенной формуле
k=2h∆st.
Расчет вести в обобщенном виде. В расчете учитывать только изгибную деформацию.
Численные данные: a=2 м;P=2 кН;E=2∙105 МПа.
Поперечное сечение: швеллер №40; Iy=542 см4; Wy=73,4 см3;h=10 см.
Рис.1
Необходимо:
1. Проверить прочность конструкции.
2. Вычислить перемещение при динамическом нагружении ∆d.
Рис.2
Решение
Выполним проверку прочности конструкции.
Проверка прочности состоит в проверке условия:
σdmax=σstmax∙k≤R
где σdmax− максимальное напряжения от ударной нагрузки;
σstmax− максимальное напряжения от статического действия силы P.
k− динамический коэффициент.
Для определения σstmax и k строим эпюры изгибающих моментов от статического действия силы P и от силы равной единицы , приложенной в точке удара.
а) строим эпюру изгибающих моментов от статического действия силы P:
−определяем реакции XA; YB;XB:
Y=0=YB-P=0=>YB=P;
MA=0=XB∙a-P∙2a+YB∙a=0=>XB=P∙2a-P∙aa=P;
X=0=XB-XA=0=>XB=XA=P.
−определим значение изгибающего момента по участкам:
Участок AD:
Mx=0;
Участок CD:
Mx=-Pa;
Участок BD:
Mx=Pa;
Строим эпюру Mx.
Рис.3
б) строим эпюру изгибающих моментов от силы равной единицы , приложенной в точке удара.
−определяем реакции XA; YB;XB:
Y=0=YB-P=0=>YB=1;
MA=0=XB∙a-1∙2a+1∙a=0=>XB=1∙2a-1∙aa=1;
X=0=XB-XA=0=>XB=XA=1.
−определим значение изгибающего момента по участкам:
Участок AD:
Mx=0;
Участок CD:
Mx=-a;
Участок BD:
Mx=a;
Строим эпюру Mx.
Рис.4
По эпюру изгибающих моментов от статического действия силы P определяем Mmax=Pa=2∙2=4 кНм.
Тогда
σstmax=MmaxWy=4∙10373,4∙10-6=54,5 МПа.
Динамический коэффициент:
k=2h∆st.
где ∆st –перемещение точки удара от статического действия силы P.
Перемещение определим способом Верещагина:
∆st=i=1nωiηiEIy;
где ωi-площадь грузовой эпюры
ηi-ордината единичной эпюры под центром тяжести площади ωi
EIy-изгибная жесткость
∆st=1EIy∙ω1η1+ω2η2=1EIy∙12∙Pa∙a∙23a+-12∙Pa∙a∙-23a=0,67Pa3EIy=10,72∙1032∙1011∙542∙10-8=0,0099 м=0,99 см.
k=2h∆st=2∙100,99=4,49.
Следовательно, σdmax=54,5∙4,49=277,7 МПа>R=160 МПа.
Так как условие прочности не выполняется, то необходимо определить допустимую высоту падения груза.
2.Определим из условия прочности допустимый динамический коэффициент и допустимую высоту падения груза.
k=Rσstmax=16054,5=2,94;
тогда
2,94=2h∆st=>2,942=2h∆st.
Допустимая высота падения:
h≤2,942∙∆st2=2,942∙0,99 2=4,28 см.
3.Определим прогиб в т
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
