Для заданной схемы нагружения раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру внутренних усилий

Изобразим схему согласно данным таблицы.
Рис.2
2.Определяем степень статической неопределимости.
S=4-3=1.
где 4−число неизвестных реакций
3−число уравнений статики
3.Выбираем основную систему и получаем эквивалентную (статически определимая система)(рис.3,а,б)
4.Записываем каноническое уравнение метода сил.
δ11∙X1+∆1P=0=>X1=-∆1Pδ11.
5.Построим эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки МР.
Построение будем вести со стороны свободного конца. Разбиваем балку на три участка и определяем значение изгибающего момента на каждом из них.
I−й участок: 0≤z1≤a:
Mx1=4qa2;
II−й участок: 0≤z2≤a:
Mx2=4qa2-2q∙z222;
при z2=0: Mx2=4qa2;
z2=a: Mx2=3qa2.
III−й участок: a≤z3≤a:
Mx3=4qa2-2q∙z3+a22+2q∙z322-qa2;
при z3=0: Mx3=2qa2;
z3=a: Mx3=0.
По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов МР(рис.3).
6.Постпоим единичную эпюру М1.(рис.3,в)
I−й участок: 0≤z1≤aм:
Mx1=0;
II−й участок: 0≤z2≤a:
Mx2=1∙z2;
при z2=0: Mx2=0;
z2=a: Mx2=a;
III−й участок: 0≤z3≤a:
Mx3=1∙z3+a;
при z3=0: Mx3=a;
z3=a: Mx3=2a.
По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов М1(рис.3).
7.Определим коэффициент и свободный член канонического уравнения по способу Верещагина.
а)главный коэффициент δ11 определяется перемножением эпюры от единичной нагрузки на саму себя(М1 х М1):
δ11=1EIx∙12∙2a∙2a∙23∙2a=8a33EIx;
б)свободный член уравнения ∆1P определяется перемножением грузовой эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки на эпюру от единичной нагрузки(Мx х М1):
−определяем площади эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки:
ω1=h∙l=4qa2∙a=4qa3;
ω2=ql312=2q∙a312=qa36;
ω3=12∙h∙l=qa32;
ω4=h∙l=3qa2∙a=3qa3;
ω5=12∙h∙l=qa3
−определяем ординаты на единичной эпюре:
η1=0;
η2=η4=1∙12a=12a;
η3=1∙13∙a=13a;
η5=1∙a+13∙a=43a.
Тогда
∆1P=1EIx∙ω2∙η2+ω3∙η3+ω4∙η4+ω5∙η5=1EIx∙qa36∙12a+qa32∙13a+3qa3∙12a+qa3∙43a=37qa412EIx.
8.Определяем неизвестную реакцию Х1.
X1=-∆1Pδ11=-37qa412EIx∙3EIx8a3=-37qa32.
Знак ”−” показывает, что истинное направлении реакции противоположно выбранному на схеме.
Рис.3
9.Строим эпюру внутренних усилий с учетом найденной реакции.
I−й участок: 0≤z1≤a:
Qy1=0;
Mx1=4qa2;
II−й участок: 0≤z2≤a:
Qy2=-X1-2q∙z2;
при z2=0: Qy2=-37qa32;
z2=a: Qy2=-37qa32-2qa=-101qa32 ;
Mx2=4qa2-X1∙z2-2q∙z222;
при z2=0: Mx2=4qa2;
z2=a: Mx2=4qa2-37qa32∙a-2q∙a22=59qa232;
III−й участок: 0≤z3≤a:
Qy3=-X1-2q∙z3+a+2q∙z3;
при z3=0: Qy3=-101qa32;
z3=a: Qy3=-37qa32-2q∙2a+2q∙a=-101qa32 ;
Mx3=4qa2-X1∙z3+a-2q∙z3+a22-qa2+2q∙z322;
при z3=0: Mx3=27qa232;
z2=a: Mx3=4qa2-37qa32∙2a-2q∙2a22-qa2+2q∙a22=-74qa32.
По полученным значениям строим эпюру поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx(рис.4)
Рис.4
10.Выполним деформационную проверку решения.
Для этого умножим эпюру Мх на единичную М1.
−определяем площади эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки:
ω1=h∙l=4qa2∙a=4qa3;
ω2=ql312=qa36=0,17qa3;
ω3=12∙h∙l=12∙2,16qa2∙a=1,08qa3;
ω4=h∙l=1,84qa2∙a=1,84qa3;
ω5=12∙h∙l=12∙0,84qa2∙0,267a=0,112qa3;
ω6=12∙h∙l=12∙-2,31qa2∙0,733a=-0,847qa3.
−определяем ординаты на единичной эпюре:
η1=0;
η2=η4=1∙12∙a=0,5a;
η3=1∙13∙a=0,33a;
η5=1∙a+13∙0,267a=1,089a;
η6=1∙1,267a+23∙0,733a=1,756a.
Тогда
δ=1EIx∙ω2∙η2+ω3∙η3+ω4∙η4+ω5∙η5+ω6∙η6=1EIx∙0,17qa3∙0,5a+1,08qa3∙0,33a+1,84qa3∙0,5a+0,112qa3∙1,089a-0,847qa3∙1,756a≈0.
Решение Верно.